Quando A^{2}=A, dizemos que a matriz (quadrada) A é idempotente. Mostre que as seguintes matrizes são idempotentes A=\left[\begin{array}{ll}1 / 2 & 1 / 2 \\\\ 1 / 2 & 1 / 2\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{crc}2 & -2 & -4 \\\\ -1 & 3 & 4 \\\\ 1 & -2 & -3\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as matrizes quadradas dadas satisfazem a propriedade A^{2}=A (isto é, são idempotentes). As informações fornecidas são as duas matrizes:
Primeiro, vamos lembrar exatamente o que significa multiplicar matrizes e o que é idempotência:
A definição que vamos usar é: uma matriz quadrada M é idempotente se vale \,M^{2}=M, isto é, se o produto M\cdot M retorna a própria matriz M.
Regra prática para multiplicação de matrizes: se C=AB com A de dimensão m\times n e B de dimensão n\times p, então cada entrada de C é dada por
\text{(C)}_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj}.
Aqui i indica a linha do produto, j indica a coluna do produto, e k varia sobre os termos correspondentes da linha de A e da coluna de B. Em palavras simples: para obter o elemento na linha i e coluna j do produto, faça o produto escalar da linha i de A pela coluna j de B. Vamos aplicar essa regra ao caso de A (2×2) e a B (3×3), calculando todas as entradas de A^{2} e de B^{2} e verificando que coincidem com as respectivas matrizes originais.
Concluímos que a matriz B também é idempotente porque B^{2}=B. Mandou bem por conferir cada entrada passo a passo — essa é a maneira garantida de mostrar idempotência em prova.]