Quando A^{2}=A, dizemos que a matriz (quadrada) A é idempotente. Mostre que as seguintes matrizes são idempotentes A=\left[\begin{array}{ll}1 / 2 & 1 / 2 \\\\ 1 / 2 & 1 / 2\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{crc}2 & -2 & -4 \\\\ -1 & 3 & 4 \\\\ 1 & -2 & -3\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as matrizes quadradas dadas satisfazem a propriedade A^{2}=A (isto é, são idempotentes). As informações fornecidas são as duas matrizes:
A=\left[\begin{array}{cc}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{array}\right]
B=\left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\[4pt] -1 & 3 & 4 \\[4pt] 1 & -2 & -3\end{array}\right]
As perguntas implícitas são:
  • Mostrar que \,A^{2}=A.
  • Mostrar que \,B^{2}=B.]

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar exatamente o que significa multiplicar matrizes e o que é idempotência:
A definição que vamos usar é: uma matriz quadrada M é idempotente se vale \,M^{2}=M, isto é, se o produto M\cdot M retorna a própria matriz M.
Regra prática para multiplicação de matrizes: se C=AB com A de dimensão m\times n e B de dimensão n\times p, então cada entrada de C é dada por
\text{(C)}_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj}.
Aqui i indica a linha do produto, j indica a coluna do produto, e k varia sobre os termos correspondentes da linha de A e da coluna de B. Em palavras simples: para obter o elemento na linha i e coluna j do produto, faça o produto escalar da linha i de A pela coluna j de B. Vamos aplicar essa regra ao caso de A (2×2) e a B (3×3), calculando todas as entradas de A^{2} e de B^{2} e verificando que coincidem com as respectivas matrizes originais.

Passo 3

Calcular A^{2}=A\cdot A. Escrevemos A novamente:
A=\left[\begin{array}{cc}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{array}\right]
Calculemos cada entrada de A^{2}:
Calcular (A^{2})_{11}:
(A^{2})_{11}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}.
Calcular (A^{2})_{12}:
(A^{2})_{12}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}.
Calcular (A^{2})_{21}:
(A^{2})_{21}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}.
Calcular (A^{2})_{22}:
(A^{2})_{22}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}.
Portanto
A^{2}=\left[\begin{array}{cc}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{array}\right]=A.
Concluímos que a matriz A é idempotente porque A^{2}=A. Ótimo — um passo confirmado!]

Passo 4

Agora calculamos B^{2}=B\cdot B. Reescrevemos B:
B=\left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\[4pt] -1 & 3 & 4 \\[4pt] 1 & -2 & -3\end{array}\right]
Vamos calcular todas as entradas de B^{2} usando produto linha × coluna.
Calcular (B^{2})_{11}:
(B^{2})_{11}=2\cdot2+(-2)\cdot(-1)+(-4)\cdot1=4+2-4=2.
Calcular (B^{2})_{12}:
(B^{2})_{12}=2\cdot(-2)+(-2)\cdot3+(-4)\cdot(-2)=-4-6+8=-2.
Calcular (B^{2})_{13}:
(B^{2})_{13}=2\cdot(-4)+(-2)\cdot4+(-4)\cdot(-3)=-8-8+12=-4.
Calcular (B^{2})_{21}:
(B^{2})_{21}=(-1)\cdot2+3\cdot(-1)+4\cdot1=-2-3+4=-1.
Calcular (B^{2})_{22}:
(B^{2})_{22}=(-1)\cdot(-2)+3\cdot3+4\cdot(-2)=2+9-8=3.
Calcular (B^{2})_{23}:
(B^{2})_{23}=(-1)\cdot(-4)+3\cdot4+4\cdot(-3)=4+12-12=4.
Calcular (B^{2})_{31}:
(B^{2})_{31}=1\cdot2+(-2)\cdot(-1)+(-3)\cdot1=2+2-3=1.
Calcular (B^{2})_{32}:
(B^{2})_{32}=1\cdot(-2)+(-2)\cdot3+(-3)\cdot(-2)=-2-6+6=-2.
Calcular (B^{2})_{33}:
(B^{2})_{33}=1\cdot(-4)+(-2)\cdot4+(-3)\cdot(-3)=-4-8+9=-3.
Assim
B^{2}=\left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\[4pt] -1 & 3 & 4 \\[4pt] 1 & -2 & -3\end{array}\right]=B.
Concluímos que a matriz B também é idempotente porque B^{2}=B. Mandou bem por conferir cada entrada passo a passo — essa é a maneira garantida de mostrar idempotência em prova.]

Resposta

A^{2}=A
B^{2}=B

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