Verifique que as seguintes matrizes comutam A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 6 & 7\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as matrizes comutam, ou seja, se ao multiplicar A por B obtemos o mesmo resultado que ao multiplicar B por A. As informações dadas são:
A=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{array}\right],\qquad B=\left[\begin{array}{cc}1 & 4 \\[4pt] 6 & 7\end{array}\right].
A pergunta é: AB = BA ?]

Passo 2

Lembrete rápido (aulas de multiplicação de matrizes): para matrizes 2\times2 a entrada (i,j) do produto C=AB é dada por
C_{ij}=\sum_{k=1}^{2} A_{ik}\cdot B_{kj}.
Aqui A_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de A, e B_{kj} é o elemento da linha k e coluna j de B. Vamos usar isso para calcular AB e BA entrada a entrada. (Se ficar perdido, pensa que cada entrada é um produto escalar entre a linha i de A e a coluna j de B.)

Passo 3

Calcular AB entrada a entrada usando a fórmula:
(AB)_{11}=A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}=1\cdot1+2\cdot6=1+12=13.
(AB)_{12}=A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}=1\cdot4+2\cdot7=4+14=18.
(AB)_{21}=A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}=3\cdot1+4\cdot6=3+24=27.
(AB)_{22}=A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}=3\cdot4+4\cdot7=12+28=40.
Portanto
AB=\left[\begin{array}{cc}13 & 18 \\[4pt] 27 & 40\end{array}\right].]

Passo 4

Agora calcular BA entrada a entrada da mesma forma:
(BA)_{11}=B_{11}A_{11}+B_{12}A_{21}=1\cdot1+4\cdot3=1+12=13.
(BA)_{12}=B_{11}A_{12}+B_{12}A_{22}=1\cdot2+4\cdot4=2+16=18.
(BA)_{21}=B_{21}A_{11}+B_{22}A_{21}=6\cdot1+7\cdot3=6+21=27.
(BA)_{22}=B_{21}A_{12}+B_{22}A_{22}=6\cdot2+7\cdot4=12+28=40.
Portanto
BA=\left[\begin{array}{cc}13 & 18 \\[4pt] 27 & 40\end{array}\right].]

Passo 5

Comparando os resultados obtidos:
AB=\left[\begin{array}{cc}13 & 18 \\[4pt] 27 & 40\end{array}\right] \qquad\text{e}\qquad BA=\left[\begin{array}{cc}13 & 18 \\[4pt] 27 & 40\end{array}\right].
Como todas as entradas correspondem, concluímos que AB=BA, isto é, as matrizes comutam.]

Resposta

AB=BA=\left[\begin{array}{cc}13 & 18 \\[4pt] 27 & 40\end{array}\right]]

Exercícios relacionados