Desenvolva as expressões soluções das integrais I de cada caso.
I=\int A x^{N} d x;

Passo 1

O enunciado quer a solução geral da integral
I = \int A\,x^{N}\,dx
onde A e N são constantes. Vamos usar a propriedade de fatorar constantes fora da integral e depois aplicar a regra da potência, lembrando que há um caso especial quando o expoente é -1.

Passo 2

Caso N \neq -1, podemos escrever
\int A\,x^{N}\,dx = A \int x^{N}\,dx.
Pela regra da potência, para N\neq -1 vale
\int x^{N}\,dx = \frac{x^{N+1}}{N+1} + C.
Logo,
I = A\,\frac{x^{N+1}}{N+1} + C.

Passo 3

Caso N = -1, não podemos usar a fórmula acima porque dividiríamos por zero. Nesse caso
\int A\,x^{-1}\,dx = A \int x^{-1}\,dx
e sabe-se que
\int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C.
Portanto
I = A\,\ln\lvert x\rvert + C.

Resposta

I = \begin{cases} A\,\dfrac{x^{N+1}}{N+1} + C, & N \neq -1,\\[1em] A\,\ln\lvert x\rvert + C, & N = -1. \end{cases}]

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