Desenvolva e depois fatore:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: desenvolver (ou seja, expandir) a expressão e depois fatorá-la. A expressão dada é
.
Informações explícitas fornecidas: a expressão é uma diferença entre o quadrado de e o número
.
Informações explícitas fornecidas: a expressão é uma diferença entre o quadrado de
Passo 2
Vamos recordar a fórmula para o quadrado de um binômio — é a ferramenta que precisamos para “desenvolver” a parte
. A fórmula é
Aqui
e
são qualquer coisa (números, incógnitas). No nosso caso podemos identificar
e
. Isso significa que
Expliquei cada termo:
vira
,
vira
e
vira
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso binômio,
Agora calculemos os produtos e potências simples:
e
. Portanto
Passo 4
Substituímos isso de volta na expressão original
. Assim obtemos
Agora simplificamos somando/subtraindo os termos constantes
e
, que se anulam:
Portanto o desenvolvimento (expansão) da expressão é
.
Passo 5
Agora vamos fatorar
. Existem duas formas simples e comuns: fator comum e diferença de quadrados aplicada à forma original. Vou fazer as duas — assim você aprende dois jeitos que caem em prova.
Passo 6
Método 1 — fator comum: em
ambos os termos têm um fator
. A fatoração por fator comum é feita assim:
Explicando: tiramos
em evidência; dentro do parêntese fica
(do
) mais
(do
). Esse é o resultado da fatoração por fator comum.
Passo 7
Método 2 — diferença de quadrados aplicado diretamente na expressão original: observe que
, então a expressão original pode ser vista como
Existe a identidade da diferença de quadrados:
Aqui
e
. Aplicando a identidade:
Simplificando cada fator:
Logo obtemos
que coincide com o resultado do método 1. Bom sinal: duas rotas, mesmo destino.
Passo 8
Verificação rápida (sempre bom fazer na prova): expandir
dá
que é exatamente o polinômio que obtivemos no desenvolvimento. Portanto a fatoração está correta.
Passo 9
Dica para prova (prática): quando vir algo do tipo
, veja se
é um quadrado perfeito. Se for, a identidade da diferença de quadrados costuma economizar tempo. Se não, procure fator comum ou outro método. E sempre cheque tirando fator comum primeiro; é rápido e muitas vezes resolve.