Desenvolva e depois fatore: (x+3)^{2}-9

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: desenvolver (ou seja, expandir) a expressão e depois fatorá-la. A expressão dada é (x+3)^{2}-9.
Informações explícitas fornecidas: a expressão é uma diferença entre o quadrado de x+3 e o número 9.

Passo 2

Vamos recordar a fórmula para o quadrado de um binômio — é a ferramenta que precisamos para “desenvolver” a parte (x+3)^2. A fórmula é
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Aqui a e b são qualquer coisa (números, incógnitas). No nosso caso podemos identificar a=x e b=3. Isso significa que
(x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x \cdot 3 + 3^2.
Expliquei cada termo: a^2 vira x^2, 2ab vira 2\cdot x\cdot 3 e b^2 vira 3^2.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso binômio,
(x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2.
Agora calculemos os produtos e potências simples: 2\cdot x\cdot 3 = 6x e 3^2 = 9. Portanto
(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9.

Passo 4

Substituímos isso de volta na expressão original (x+3)^{2}-9. Assim obtemos
(x+3)^{2}-9 = (x^2 + 6x + 9) - 9.
Agora simplificamos somando/subtraindo os termos constantes +9 e -9, que se anulam:
(x^2 + 6x + 9) - 9 = x^2 + 6x.
Portanto o desenvolvimento (expansão) da expressão é \;x^2 + 6x.

Passo 5

Agora vamos fatorar \;x^2 + 6x. Existem duas formas simples e comuns: fator comum e diferença de quadrados aplicada à forma original. Vou fazer as duas — assim você aprende dois jeitos que caem em prova.

Passo 6

Método 1 — fator comum: em x^2 + 6x ambos os termos têm um fator x. A fatoração por fator comum é feita assim:
x^2 + 6x = x\cdot x + x\cdot 6 = x(x+6).
Explicando: tiramos x em evidência; dentro do parêntese fica x (do x^2) mais 6 (do 6x). Esse é o resultado da fatoração por fator comum.

Passo 7

Método 2 — diferença de quadrados aplicado diretamente na expressão original: observe que 9 = 3^2, então a expressão original pode ser vista como
(x+3)^2 - 3^2.
Existe a identidade da diferença de quadrados:
A^2 - B^2 = (A-B)(A+B).
Aqui A = x+3 e B = 3. Aplicando a identidade:
(x+3)^2 - 3^2 = \bigl((x+3)-3\bigr)\bigl((x+3)+3\bigr).
Simplificando cada fator:
((x+3)-3) = x,\qquad ((x+3)+3) = x+6.
Logo obtemos
(x+3)^2 - 3^2 = x(x+6),
que coincide com o resultado do método 1. Bom sinal: duas rotas, mesmo destino.

Passo 8

Verificação rápida (sempre bom fazer na prova): expandir x(x+6)
x(x+6) = x^2 + 6x,
que é exatamente o polinômio que obtivemos no desenvolvimento. Portanto a fatoração está correta.

Passo 9

Dica para prova (prática): quando vir algo do tipo (\text{expressão})^2 - \text{número}ãú, veja se \text{número}ú é um quadrado perfeito. Se for, a identidade da diferença de quadrados costuma economizar tempo. Se não, procure fator comum ou outro método. E sempre cheque tirando fator comum primeiro; é rápido e muitas vezes resolve.

Resposta

x(x+6)

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