Fatore completamente os seguintes polinômios:
Passo 1
O enunciado pede: fatorar completamente o polinômio
.
Informações dadas: o polinômio é de grau 4 e está escrito em termos de potências de .
Objetivo: escrever como um produto de fatores polinomiais de grau menor, preferivelmente até fatores lineares (quando possível).
Informações dadas: o polinômio é de grau 4 e está escrito em termos de potências de
Objetivo: escrever
Passo 2
Primeira observação útil (sempre a primeira coisa a tentar): verificar se há um fator comum em todos os termos. Aqui temos os termos
e
. Qual é o maior monômio que divide ambos? É
(pois
e
). Então podemos tirar
em evidência.
Passo 3
Fatorando o fator comum
obtemos:
Explicação da operação: escrever
e
, então somando os dois termos com fator comum resulta em
.
Passo 4
Agora olhe para o fator
. Reconhecemos aqui uma identidade muito comum chamada “diferença de quadrados”. A identidade é:
onde
e
são quaisquer expressões. No nosso caso podemos escolher
e
, porque
.
Passo 5
Aplicando a diferença de quadrados a
(com
e
) temos:
Explicando o que cada símbolo significa:
é a variável do polinômio;
é o número um (que é
na identidade);
e
são fatores lineares distintos.
Passo 6
Substituindo essa fatoração de volta em
, obtemos a fatoração completa:
Aqui
pode também ser visto como
, ou seja, o fator
volta duas vezes — isso indica multiplicidade 2 da raiz
.
Passo 7
Verificação rápida (checar expandindo ou avaliando em pontos): se multiplicarmos
obtemos
. Multiplicando por
voltamos a
. Também podemos ver as raízes:
(multiplicidade 2),
e
. Isso confere com a fatoração. Dica prática para prova (truquezinho): outra forma curta é usar substituição
. Então
. Voltando para
:
. Essa técnica de substituir por uma nova variável quando aparece uma potência que é múltipla (como
e
) ajuda a ver a estrutura mais rápido.