Fatore completamente os seguintes polinômios:
x^{4}-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: fatorar completamente o polinômio \,x^{4}-x^{2}\,.
Informações dadas: o polinômio é de grau 4 e está escrito em termos de potências de x.
Objetivo: escrever \,x^{4}-x^{2}\, como um produto de fatores polinomiais de grau menor, preferivelmente até fatores lineares (quando possível).

Passo 2

Primeira observação útil (sempre a primeira coisa a tentar): verificar se há um fator comum em todos os termos. Aqui temos os termos \,x^{4}\, e \,-x^{2}\,. Qual é o maior monômio que divide ambos? É \,x^{2}\, (pois \,x^{4}=x^{2}\cdot x^{2}\, e \,-x^{2}=x^{2}\cdot(-1)\,). Então podemos tirar \,x^{2}\, em evidência.

Passo 3

Fatorando o fator comum \,x^{2}\, obtemos:
x^{4}-x^{2}=x^{2}\left(x^{2}-1\right).
Explicação da operação: escrever \,x^{4}=x^{2}\cdot x^{2}\, e \,-x^{2}=x^{2}\cdot(-1)\,, então somando os dois termos com fator comum resulta em \,x^{2}(x^{2}-1)\,.

Passo 4

Agora olhe para o fator \,x^{2}-1. Reconhecemos aqui uma identidade muito comum chamada “diferença de quadrados”. A identidade é:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer expressões. No nosso caso podemos escolher a=x e b=1, porque \,x^{2}-1^{2}=x^{2}-1.

Passo 5

Aplicando a diferença de quadrados a \,x^{2}-1\, (com a=x e b=1) temos:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Explicando o que cada símbolo significa: x é a variável do polinômio; 1 é o número um (que é 1^{2} na identidade); (x-1) e (x+1) são fatores lineares distintos.

Passo 6

Substituindo essa fatoração de volta em \,x^{2}(x^{2}-1)\,, obtemos a fatoração completa:
x^{4}-x^{2}=x^{2}(x-1)(x+1).
Aqui x^{2} pode também ser visto como (x)(x), ou seja, o fator x volta duas vezes — isso indica multiplicidade 2 da raiz x=0.

Passo 7

Verificação rápida (checar expandindo ou avaliando em pontos): se multiplicarmos (x-1)(x+1) obtemos x^{2}-1. Multiplicando por x^{2} voltamos a x^{4}-x^{2}. Também podemos ver as raízes: x=0 (multiplicidade 2), x=1 e x=-1. Isso confere com a fatoração. Dica prática para prova (truquezinho): outra forma curta é usar substituição \,y=x^{2}\,. Então \,x^{4}-x^{2}=y^{2}-y=y(y-1). Voltando para x: =x^{2}(x^{2}-1)=x^{2}(x-1)(x+1). Essa técnica de substituir por uma nova variável quando aparece uma potência que é múltipla (como x^{4} e x^{2}) ajuda a ver a estrutura mais rápido.

Resposta

x^{4}-x^{2}=x^{2}(x-1)(x+1)

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