Determine o domínio da função
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
.
Informações dadas e pontos importantes que aparecem no enunciado:
- A expressão dentro da raiz é
. - O denominador é
, que anula-se em e . - O numerador é
, que anula-se em . - O que é pedido: todos os valores de
para os quais está bem definida (domínio).
Passo 2
Regras fundamentais que vamos usar (explicadinho):
- Para uma raiz quadrada
com real, precisamos que . Ou seja, o radicando não pode ser negativo. - Se o radicando é uma fração
, além de exigir , também é preciso garantir (não podemos dividir por zero).
Aplicando isso aqui: precisamos de
e simultaneamente de
.
Passo 3
Factorizamos o denominador para trabalhar melhor com sinais:
Portanto a desigualdade a resolver é
com a condição adicional de
e
.
Passo 4
Identificamos os pontos críticos (onde numerador ou denominador são zero):
-
anula o numerador. -
e anulam o denominador.
Esses pontos particionam a reta real em intervalos onde o sinal da fração é constante. Ordenando-os:, , , , .
Passo 5
Método prático: fazemos um “teste de sinais” em cada intervalo entre os pontos críticos. Para isso, analisamos o sinal de cada fator
,
e
num ponto de teste de cada intervalo. Lembre-se: o sinal da fração é o produto dos sinais do numerador e do inverso do denominador (mas aqui é mais simples: verificamos numerador e denominador separadamente).
Intervalos e pontos de teste:
-
Intervalo
: teste . -
(negativo), -
(negativo), -
(negativo).
Denominador= (negativo)·(negativo) = positivo.
Assim a fração= (negativo)/(positivo) = negativo.
Logo neste intervalo a fração é negativa → não serve para a raiz.
-
-
Intervalo
: teste . -
(negativo), -
(negativo), -
(positivo).
Denominador = (negativo)·(positivo) = negativo.
Fração = (negativo)/(negativo) = positivo.
Portanto neste intervalo a fração é positiva → serve para a raiz.
-
-
Intervalo
: teste . -
(positivo), -
(negativo), -
(positivo).
Denominador = (negativo)·(positivo) = negativo.
Fração = (positivo)/(negativo) = negativo.
Portanto neste intervalo a fração é negativa → não serve.
-
-
Intervalo
: teste . -
(positivo), -
(positivo), -
(positivo).
Denominador = (positivo)·(positivo) = positivo.
Fração = (positivo)/(positivo) = positivo.
Portanto neste intervalo a fração é positiva → serve.
-
Passo 6
Agora tratamos os pontos críticos isoladamente (fronteiras):
- Em
: o numerador é zero, o denominador é . Então a fração vale . Como é definido, pertence ao domínio. - Em
ou : o denominador é zero, então a expressão é indefinida; esses valores não estão no domínio.
Passo 7
Juntando tudo:
- Os intervalos onde a fração é positiva são
e . - Podemos incluir
porque aí a fração é zero e a raiz fica definida. - Devemos excluir
e .
Portanto o domínio é a união dos conjuntos
e
.