Determine o domínio da função f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x^{2}-4}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função f(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{x^{2}-4}}.
Informações dadas e pontos importantes que aparecem no enunciado:
  • A expressão dentro da raiz é \dfrac{x-1}{x^{2}-4}.
  • O denominador é x^{2}-4, que anula-se em x=2 e x=-2.
  • O numerador é x-1, que anula-se em x=1.
  • O que é pedido: todos os valores de x para os quais f(x) está bem definida (domínio).

Passo 2

Regras fundamentais que vamos usar (explicadinho):
  • Para uma raiz quadrada \sqrt{A} com A real, precisamos que A\ge 0. Ou seja, o radicando não pode ser negativo.
  • Se o radicando é uma fração \dfrac{N}{D}, além de exigir \dfrac{N}{D}\ge 0, também é preciso garantir D\neq 0 (não podemos dividir por zero).
    Aplicando isso aqui: precisamos de
\frac{x-1}{x^{2}-4}\ge 0
e simultaneamente de x^{2}-4\neq 0.

Passo 3

Factorizamos o denominador para trabalhar melhor com sinais:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Portanto a desigualdade a resolver é
\frac{x-1}{(x-2)(x+2)}\ge 0,
com a condição adicional de x\neq -2 e x\neq 2.

Passo 4

Identificamos os pontos críticos (onde numerador ou denominador são zero):
  • x=1 anula o numerador.
  • x=2 e x=-2 anulam o denominador.
    Esses pontos particionam a reta real em intervalos onde o sinal da fração é constante. Ordenando-os: -\infty, -2, 1, 2, +\infty.

Passo 5

Método prático: fazemos um “teste de sinais” em cada intervalo entre os pontos críticos. Para isso, analisamos o sinal de cada fator (x-1), (x-2) e (x+2) num ponto de teste de cada intervalo. Lembre-se: o sinal da fração é o produto dos sinais do numerador e do inverso do denominador (mas aqui é mais simples: verificamos numerador e denominador separadamente).
Intervalos e pontos de teste:
  • Intervalo (-\infty,-2): teste x=-3.
    • x-1=-3-1=-4 (negativo),
    • x-2=-3-2=-5 (negativo),
    • x+2=-3+2=-1 (negativo).
      Denominador (x-2)(x+2) = (negativo)·(negativo) = positivo.
      Assim a fração \dfrac{x-1}{x^{2}-4} = (negativo)/(positivo) = negativo.
      Logo neste intervalo a fração é negativa → não serve para a raiz.
  • Intervalo (-2,1): teste x=0.
    • x-1= -1 (negativo),
    • x-2= -2 (negativo),
    • x+2= 2 (positivo).
      Denominador = (negativo)·(positivo) = negativo.
      Fração = (negativo)/(negativo) = positivo.
      Portanto neste intervalo a fração é positiva → serve para a raiz.
  • Intervalo (1,2): teste x=1{,}5.
    • x-1=0{,}5 (positivo),
    • x-2=-0{,}5 (negativo),
    • x+2=3{,}5 (positivo).
      Denominador = (negativo)·(positivo) = negativo.
      Fração = (positivo)/(negativo) = negativo.
      Portanto neste intervalo a fração é negativa → não serve.
  • Intervalo (2,\infty): teste x=3.
    • x-1=2 (positivo),
    • x-2=1 (positivo),
    • x+2=5 (positivo).
      Denominador = (positivo)·(positivo) = positivo.
      Fração = (positivo)/(positivo) = positivo.
      Portanto neste intervalo a fração é positiva → serve.

Passo 6

Agora tratamos os pontos críticos isoladamente (fronteiras):
  • Em x=1: o numerador é zero, o denominador é 1^{2}-4=-3\neq 0. Então a fração vale 0. Como \sqrt{0}=0 é definido, x=1 pertence ao domínio.
  • Em x=2 ou x=-2: o denominador é zero, então a expressão \dfrac{x-1}{x^{2}-4} é indefinida; esses valores não estão no domínio.

Passo 7

Juntando tudo:
  • Os intervalos onde a fração é positiva são (-2,1) e (2,\infty).
  • Podemos incluir x=1 porque aí a fração é zero e a raiz fica definida.
  • Devemos excluir x=-2 e x=2.
Portanto o domínio é a união dos conjuntos (-2,1] e (2,\infty).

Resposta

\displaystyle (-2,1]\cup(2,\infty)

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