Para
, determine o domínio e simplifique a expressão
Passo 1
O enunciado nos dá a função racional
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função (ou seja, todos os valores de
para os quais está definida). - Simplificar algebricamente a expressão dada para
.
Informações relevantes dadas no enunciado:
é o numerador e
é o denominador da fração que define
.
Passo 2
Como identificar o domínio de uma função racional (passo-a-passo didático).
Uma função da forma
Uma função da forma
está definida para todos os
reais exceto aqueles que anulam o denominador (porque divisão por zero é indefinida). Portanto, para achar o domínio basta resolver a equação
Resolvendo:
Logo, o valor
não pode pertencer ao domínio. Conclusão parcial: o domínio é todos os reais exceto
.
Passo 3
Agora vamos simplificar a expressão. Primeiro, observe que o numerador
é uma diferença de quadrados. Vou te explicar essa fórmula: para quaisquer
e
vale
Aqui podemos identificar
e
. Aplicando a fatoração:
Passo 4
Substituímos a fatoração do numerador na expressão de
. Ficamos com
Agora vem a ideia de cancelamento: se um fator aparece no numerador e no denominador nós podemos simplificá-lo, desde que ele não seja zero (porque dividir por zero não é permitido). Portanto, para
tal que
(ou seja,
), podemos cancelar o fator comum
, obtendo
Passo 5
Importante — interpretação e diferença entre a expressão simplificada e a função original:
- A expressão simplificada
coincide com o valor de para todo diferente de . - Contudo, a função original está indefinida em
(porque o denominador original é zero ali). Portanto não podemos afirmar que ; existe uma descontinuidade removível (um “buraco”) em . Se quisermos ver o limite:
mas isso não significa que
exista — de fato,
não está definido.
Passo 6
Verificação numérica rápida (para ganhar confiança):
- Para
: original . Simplificada . OK. - Para
: original . Simplificada . OK.
Resposta
Domínio:
Expressão simplificada:
Expressão simplificada: