Para f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}, determine o domínio e simplifique a expressão

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}
e pede duas coisas:
  1. Determinar o domínio da função (ou seja, todos os valores de x para os quais f(x) está definida).
  2. Simplificar algebricamente a expressão dada para f(x).
Informações relevantes dadas no enunciado:
\;x^{2}-4 é o numerador e \;x-2 é o denominador da fração que define f(x).

Passo 2

Como identificar o domínio de uma função racional (passo-a-passo didático).
Uma função da forma
\frac{\text{polinômio}}{\text{polinômio}}ôô
está definida para todos os x reais exceto aqueles que anulam o denominador (porque divisão por zero é indefinida). Portanto, para achar o domínio basta resolver a equação
x-2=0.
Resolvendo:
x-2=0 \Longrightarrow x=2.
Logo, o valor x=2 não pode pertencer ao domínio. Conclusão parcial: o domínio é todos os reais exceto 2.

Passo 3

Agora vamos simplificar a expressão. Primeiro, observe que o numerador \;x^{2}-4 é uma diferença de quadrados. Vou te explicar essa fórmula: para quaisquer a e b vale
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui podemos identificar a=x e b=2. Aplicando a fatoração:
x^{2}-4 = x^{2}-2^{2} = (x-2)(x+2).

Passo 4

Substituímos a fatoração do numerador na expressão de f(x). Ficamos com
f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.
Agora vem a ideia de cancelamento: se um fator aparece no numerador e no denominador nós podemos simplificá-lo, desde que ele não seja zero (porque dividir por zero não é permitido). Portanto, para x tal que x-2\neq0 (ou seja, x\neq2), podemos cancelar o fator comum (x-2), obtendo
f(x)=x+2\qquad\text{para }x\neq2.

Passo 5

Importante — interpretação e diferença entre a expressão simplificada e a função original:
  • A expressão simplificada \;x+2 coincide com o valor de f(x) para todo x diferente de 2.
  • Contudo, a função original está indefinida em x=2 (porque o denominador original é zero ali). Portanto não podemos afirmar que f(2)=4; existe uma descontinuidade removível (um “buraco”) em x=2. Se quisermos ver o limite:
\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4,
mas isso não significa que f(2) exista — de fato, f(2) não está definido.

Passo 6

Verificação numérica rápida (para ganhar confiança):
  • Para x=3: original \frac{3^{2}-4}{3-2}=\frac{9-4}{1}=5. Simplificada 3+2=5. OK.
  • Para x=1: original \frac{1-4}{-1}=3. Simplificada 1+2=3. OK.

Resposta

Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq2\}
Expressão simplificada: \;x+2,\;x\neq2

Exercícios relacionados