Desenvolva a função dada em série de senos ou cossenos, convenientemente: (b) f(x)= \begin{cases}x, & 0 \leq x<1 \\\\ 1, & 1 \leq x \leq 2\end{cases} Passo 1O enunciado dá a função f(x)= \begin{cases} x, & 0\le x<1,\\\\ 1, & 1\le x\le2 \end{cases} num intervalo [0,2] e pede uma série de senos ou cossenos “conveniente”. Como f não é periódica em \R, vamos usar a extensão par em [-2,2] e obter a série de cossenos (metade do período é L=2). Para isso precisamos de \frac{a_0}{2}=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx, \quad a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx, com L=2. Passo 2Calcular a_0: \int_{0}^{2}f(x)\,dx =\int_{0}^{1}x\,dx+\int_{1}^{2}1\,dx =\frac{1^2}{2}+(2-1) =\frac12+1 =\frac32. Como \frac{a_0}{2}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(x)\,dx =\frac{1}{2}\cdot\frac32 =\frac{3}{4}, temos \displaystyle\frac{a_0}{2}=\tfrac{3}{4}. Passo 3Calcular a_n para n\ge1. Defina \alpha=\tfrac{n\pi}{2}. Então a_n =\int_{0}^{2}f(x)\cos(\alpha x)\,dx =\int_{0}^{1}x\cos(\alpha x)\,dx +\int_{1}^{2}\cos(\alpha x)\,dx. Para a primeira integral, por partes: \int_{0}^{1}x\cos(\alpha x)\,dx =\Bigl[\frac{x\sin(\alpha x)}{\alpha}+\frac{\cos(\alpha x)}{\alpha^2}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{\sin\alpha}{\alpha}+\frac{\cos\alpha-1}{\alpha^2}. Para a segunda: \int_{1}^{2}\cos(\alpha x)\,dx =\Bigl[\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{\sin(2\alpha)-\sin\alpha}{\alpha}. Somando, a_n =\frac{\sin\alpha}{\alpha}+\frac{\cos\alpha-1}{\alpha^2} +\frac{\sin(2\alpha)-\sin\alpha}{\alpha}. Passo 4Note que \sin(2\alpha)=\sin(n\pi)=0 e que os termos em \sin\alpha/\alpha se cancelam, restando a_n =\frac{\cos\alpha-1}{\alpha^2}, \quad \alpha=\frac{n\pi}{2}. Como \alpha^2=\tfrac{n^2\pi^2}{4}, obtemos a_n =\frac{\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)-1}{(n\pi/2)^2} =\frac{4\bigl[\cos(\tfrac{n\pi}{2})-1\bigr]}{n^2\pi^2}. Passo 5Reescrevendo a série de cossenos em [0,2]: f(x) =\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr) =\frac{3}{4} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4\bigl[\cos(\tfrac{n\pi}{2})-1\bigr]}{n^2\pi^2} \cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr). Resposta \boxed{ f(x) =\frac{3}{4} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4\bigl[\cos(\tfrac{n\pi}{2})-1\bigr]}{n^2\pi^2} \cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr), \quad 0\le x\le2. } MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDesenvolva a função dada em série só de senos e só de cossenos, no intervalo indicado: (a) f(x)=\left\{\begin{array}{lr}1, & 0 \leq x<1 / 2 \\\\ 0, & 1 / 2 \leq x \leq 1\end{array}\right. (2 pontos) Sobre as integrais triplas (a) Qual seria a interpretação geométrica para a integral tripla \iiint_{K} f(x, y, z) d V onde f(x, y, z) \geq 0 e E é um sólido geométrico? (b) Cite uma aplicaçēo das integrais triplas. (c) Use integral tripla para determinar o volume do sólido compreendido entre as superficies z=4 n^{2}+y^{2} \mathrm{e} z=4-3 y^{2}. Exemplos 8: Resolva a equação |x|+|x-3|<5. Aqui as barras |\mid representa o valor absoluto de um número real. (a) [-1,0] \cup[3,4], (b) (-1,0) \cap(3,4), (c) (-1,4), (d) [-1,4], (e) (0,3). Encontre a série de Fourier das funções, nos intervalos dados: (d) f(x)=\left\{\begin{array}{cc}0, & -2 \leq x<0 \\\ x, & 0 \leq x<1 \\\\ 1, & 1 \leq x \leq 2\end{array}\right..