Desenvolva a função dada em série de senos ou cossenos, convenientemente:
(b) f(x)= \begin{cases}x, & 0 \leq x<1 \\\\ 1, & 1 \leq x \leq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} x, & 0\le x<1,\\\\ 1, & 1\le x\le2 \end{cases}
num intervalo [0,2] e pede uma série de senos ou cossenos “conveniente”. Como f não é periódica em \R, vamos usar a extensão par em [-2,2] e obter a série de cossenos (metade do período é L=2). Para isso precisamos de
\frac{a_0}{2}=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx, \quad a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx,
com L=2.

Passo 2

Calcular a_0:
\int_{0}^{2}f(x)\,dx =\int_{0}^{1}x\,dx+\int_{1}^{2}1\,dx =\frac{1^2}{2}+(2-1) =\frac12+1 =\frac32.
Como
\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(x)\,dx =\frac{1}{2}\cdot\frac32 =\frac{3}{4},
temos \displaystyle\frac{a_0}{2}=\tfrac{3}{4}.

Passo 3

Calcular a_n para n\ge1. Defina \alpha=\tfrac{n\pi}{2}. Então
a_n =\int_{0}^{2}f(x)\cos(\alpha x)\,dx =\int_{0}^{1}x\cos(\alpha x)\,dx +\int_{1}^{2}\cos(\alpha x)\,dx.
Para a primeira integral, por partes:
\int_{0}^{1}x\cos(\alpha x)\,dx =\Bigl[\frac{x\sin(\alpha x)}{\alpha}+\frac{\cos(\alpha x)}{\alpha^2}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{\sin\alpha}{\alpha}+\frac{\cos\alpha-1}{\alpha^2}.
Para a segunda:
\int_{1}^{2}\cos(\alpha x)\,dx =\Bigl[\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{\sin(2\alpha)-\sin\alpha}{\alpha}.
Somando,
a_n =\frac{\sin\alpha}{\alpha}+\frac{\cos\alpha-1}{\alpha^2} +\frac{\sin(2\alpha)-\sin\alpha}{\alpha}.

Passo 4

Note que \sin(2\alpha)=\sin(n\pi)=0 e que os termos em \sin\alpha/\alpha se cancelam, restando
a_n =\frac{\cos\alpha-1}{\alpha^2}, \quad \alpha=\frac{n\pi}{2}.
Como \alpha^2=\tfrac{n^2\pi^2}{4}, obtemos
a_n =\frac{\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)-1}{(n\pi/2)^2} =\frac{4\bigl[\cos(\tfrac{n\pi}{2})-1\bigr]}{n^2\pi^2}.

Passo 5

Reescrevendo a série de cossenos em [0,2]:
f(x) =\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr) =\frac{3}{4} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4\bigl[\cos(\tfrac{n\pi}{2})-1\bigr]}{n^2\pi^2} \cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr).

Resposta

\boxed{ f(x) =\frac{3}{4} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4\bigl[\cos(\tfrac{n\pi}{2})-1\bigr]}{n^2\pi^2} \cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr), \quad 0\le x\le2. }

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