Exemplos 8: Resolva a equação |x|+|x-3|<5. Aqui as barras |\mid representa o valor absoluto de um número real.
(a) [-1,0] \cup[3,4],
(b) (-1,0) \cap(3,4),
(c) (-1,4),
(d) [-1,4],
(e) (0,3).

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação |x| + |x - 3| < 5, envolvendo valores absolutos. Para isso, vamos usar a definição piecewise de |x| e |x - 3| e estudar cada faixa de x separadamente.

Passo 2

Dividimos a reta em três regiões onde mudam os sinais dos argumentos dos módulos, isto é, em x=0 e x=3.

Passo 3

Região x<0. Aqui |x| = -x e |x-3| = 3 - x. A inequação vira
-x + (3 - x) < 5.
Resolvendo,
3 - 2x < 5 \implies -2x < 2 \implies x > -1.
Combinando com x<0, obtemos -1 < x < 0.

Passo 4

Região 0 \le x < 3. Neste intervalo |x| = x e |x-3| = 3 - x. A inequação é
x + (3 - x) < 5 \implies 3 < 5,
que é sempre verdadeira. Logo todos os x com 0 \le x < 3 satisfazem a inequação.

Passo 5

Região x \ge 3. Agora |x| = x e |x-3| = x - 3. A inequação fica
x + (x - 3) < 5 \implies 2x - 3 < 5 \implies 2x < 8 \implies x < 4.
Combinando com x \ge 3, resulta em 3 \le x < 4.

Passo 6

Unindo todas as soluções:
(-1, 0)\;\cup\;[0, 3)\;\cup\;[3, 4)\;=\;(-1,4).
Verificamos que em x=-1 e em x=4 a soma dos módulos vale 5, não satisfazendo a inequação estrita.

Resposta

(c)

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