Desenvolva a função dada em série só de senos e só de cossenos, no intervalo indicado: (a) f(x)=\left\{\begin{array}{lr}1, & 0 \leq x<1 / 2 \\\\ 0, & 1 / 2 \leq x \leq 1\end{array}\right. Passo 1O enunciado define a função f(x)= \begin{cases} 1, & 0\le x<\tfrac12,\\\\ 0, & \tfrac12\le x\le1, \end{cases} no intervalo [0,1] e pede duas expansões de Fourier: série só de senos (extensão ímpar em [-1,1]) série só de cossenos (extensão par em [-1,1]). Usaremos L=1 e as fórmulas b_n=\tfrac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx, a_0=\tfrac{2}{L}\int_0^L f(x)\,dx,\quad a_n=\tfrac{2}{L}\int_0^L f(x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx. Passo 2Para a série de senos, b_n=2\int_0^1 f(x)\sin(n\pi x)\,dx =2\int_0^{1/2}\sin(n\pi x)\,dx =2\Bigl[-\tfrac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_0^{1/2} =\frac{2}{n\pi}\Bigl(1-\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\Bigr). Passo 3Logo a expansão em senos fica f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr)}{n\pi}\,\sin(n\pi x). Passo 4Para a série de cossenos primeiro a_0=2\int_0^1f(x)\,dx =2\int_0^{1/2}1\,dx =1, e para n\ge1 a_n=2\int_0^1f(x)\cos(n\pi x)\,dx =2\int_0^{1/2}\cos(n\pi x)\,dx =\frac{2}{n\pi}\sin\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr). Passo 5Portanto a expansão em cossenos é f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(n\pi x) =\frac12+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\sin\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr)\cos(n\pi x). RespostaExpansão só de senos: f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr)}{n\pi}\,\sin(n\pi x). Expansão só de cossenos: f(x)=\frac12+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\sin\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr)\cos(n\pi x). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados(2 pontos) Sobre as integrais triplas (a) Qual seria a interpretação geométrica para a integral tripla \iiint_{K} f(x, y, z) d V onde f(x, y, z) \geq 0 e E é um sólido geométrico? (b) Cite uma aplicaçēo das integrais triplas. (c) Use integral tripla para determinar o volume do sólido compreendido entre as superficies z=4 n^{2}+y^{2} \mathrm{e} z=4-3 y^{2}. Atenção: esta questão é discursiva. Utilizando as fórmulas de redução de potência, reescreva a expressão abaixo eliminando potências de seno ou cosseno maiores que um. \operatorname{sen}^{4}\left(\frac{x}{2}\right) . Desenvolva a função dada em série de senos ou cossenos, convenientemente: (b) f(x)= \begin{cases}x, & 0 \leq x<1 \\\\ 1, & 1 \leq x \leq 2\end{cases} Exemplos 8: Resolva a equação |x|+|x-3|<5. Aqui as barras |\mid representa o valor absoluto de um número real. (a) [-1,0] \cup[3,4], (b) (-1,0) \cap(3,4), (c) (-1,4), (d) [-1,4], (e) (0,3).