Desenvolva a função dada em série só de senos e só de cossenos, no intervalo indicado:
(a) f(x)=\left\{\begin{array}{lr}1, & 0 \leq x<1 / 2 \\\\ 0, & 1 / 2 \leq x \leq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} 1, & 0\le x<\tfrac12,\\\\ 0, & \tfrac12\le x\le1, \end{cases}
no intervalo [0,1] e pede duas expansões de Fourier:
  1. série só de senos (extensão ímpar em [-1,1])
  2. série só de cossenos (extensão par em [-1,1]).
    Usaremos L=1 e as fórmulas
b_n=\tfrac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx,
a_0=\tfrac{2}{L}\int_0^L f(x)\,dx,\quad a_n=\tfrac{2}{L}\int_0^L f(x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.

Passo 2

Para a série de senos,
b_n=2\int_0^1 f(x)\sin(n\pi x)\,dx =2\int_0^{1/2}\sin(n\pi x)\,dx
=2\Bigl[-\tfrac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_0^{1/2} =\frac{2}{n\pi}\Bigl(1-\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\Bigr).

Passo 3

Logo a expansão em senos fica
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr)}{n\pi}\,\sin(n\pi x).

Passo 4

Para a série de cossenos primeiro
a_0=2\int_0^1f(x)\,dx =2\int_0^{1/2}1\,dx =1,
e para n\ge1
a_n=2\int_0^1f(x)\cos(n\pi x)\,dx =2\int_0^{1/2}\cos(n\pi x)\,dx =\frac{2}{n\pi}\sin\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr).

Passo 5

Portanto a expansão em cossenos é
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(n\pi x) =\frac12+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\sin\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr)\cos(n\pi x).

Resposta

Expansão só de senos:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr)}{n\pi}\,\sin(n\pi x).
Expansão só de cossenos:
f(x)=\frac12+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\sin\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr)\cos(n\pi x).

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