(2 pontos) Sobre as integrais triplas
(a) Qual seria a interpretação geométrica para a integral tripla
onde
e E é um sólido geométrico?
(b) Cite uma aplicaçēo das integrais triplas.
(c) Use integral tripla para determinar o volume do sólido compreendido entre as superficies
.
(a) Qual seria a interpretação geométrica para a integral tripla
(b) Cite uma aplicaçēo das integrais triplas.
(c) Use integral tripla para determinar o volume do sólido compreendido entre as superficies
Passo 1
O enunciado traz três itens sobre integrais triplas:
(a) interpretação geométrica de com
e
sólido;
(b) citar uma aplicação das integrais triplas;
(c) usar integral tripla para determinar o volume do sólido entre as superfícies e
.
Vamos usar conceitos de densidade, projeção no plano e coordenadas polares.
(a) interpretação geométrica de
(b) citar uma aplicação das integrais triplas;
(c) usar integral tripla para determinar o volume do sólido entre as superfícies
Vamos usar conceitos de densidade, projeção no plano
Passo 2
Interpretação geométrica: para
e
,
é a acumulação de
sobre o volume de
. Se
for densidade de massa, essa integral dá a massa total. Alternativamente, é o “volume” em
do conjunto
.
Passo 3
Exemplos de aplicação:
Cálculo da massa de um corpo com densidade variável
.
Determinação do centro de massa e momentos de inércia.
Distribuição de carga elétrica em um volume.
Fluxo de calor ou energia em um meio.
Passo 4
Para o volume entre
e
usamos
Igualando as superfícies temos
logo a projeção
no plano
é o disco
. Em cada
,
Passo 5
Escrevendo a integral tripla em ordem
:
Em coordenadas polares
,
,
,
,
:
Resposta
(a)
é a massa total de um sólido de densidade
(ou o volume em
D sob o gráfico de
).
(b) Cálculo de massa, centro de massa, momento de inércia, distribuição de carga elétrica, fluxo de calor, etc.
(c)
(b) Cálculo de massa, centro de massa, momento de inércia, distribuição de carga elétrica, fluxo de calor, etc.
(c)