(2 pontos) Sobre as integrais triplas
(a) Qual seria a interpretação geométrica para a integral tripla
\iiint_{K} f(x, y, z) d V
onde f(x, y, z) \geq 0 e E é um sólido geométrico?
(b) Cite uma aplicaçēo das integrais triplas.
(c) Use integral tripla para determinar o volume do sólido compreendido entre as superficies z=4 n^{2}+y^{2} \mathrm{e} z=4-3 y^{2}.

Passo 1

O enunciado traz três itens sobre integrais triplas:
(a) interpretação geométrica de \displaystyle \iiint_{K}f(x,y,z)\,dV com f(x,y,z)\ge0 e K sólido;
(b) citar uma aplicação das integrais triplas;
(c) usar integral tripla para determinar o volume do sólido entre as superfícies z=4x^2+y^2 e z=4-3y^2.
Vamos usar conceitos de densidade, projeção no plano xy e coordenadas polares.

Passo 2

Interpretação geométrica: para f(x,y,z)\ge0 e K\subset\mathbb R^3,
\iiint_{K}f(x,y,z)\,dV
é a acumulação de f sobre o volume de K. Se f for densidade de massa, essa integral dá a massa total. Alternativamente, é o “volume” em \mathbb R^4 do conjunto \{(x,y,z,w)\mid(x,y,z)\in K,\;0\le w\le f(x,y,z)\}.

Passo 3

Exemplos de aplicação:
\bullet Cálculo da massa de um corpo com densidade variável f.
\bullet Determinação do centro de massa e momentos de inércia.
\bullet Distribuição de carga elétrica em um volume.
\bullet Fluxo de calor ou energia em um meio.

Passo 4

Para o volume entre z=4x^2+y^2 e z=4-3y^2 usamos
\text{Vol}(K)=\iiint_{K}1\,dV.
Igualando as superfícies temos
4x^2+y^2=4-3y^2 \;\Longrightarrow\; 4x^2+4y^2=4 \;\Longrightarrow\; x^2+y^2=1,
logo a projeção D no plano xy é o disco x^2+y^2\le1. Em cada (x,y)\in D,
z_{\rm inf}=4x^2+y^2, \quad z_{\rm sup}=4-3y^2.

Passo 5

Escrevendo a integral tripla em ordem dz\,dA:
\iiint_{K}1\,dV =\iint_{D}\Bigl[\int_{4x^2+y^2}^{\,4-3y^2}1\,dz\Bigr]\,dA =\iint_{D}\bigl(4-3y^2-(4x^2+y^2)\bigr)\,dA =\iint_{D}4\bigl(1-x^2-y^2\bigr)\,dA.
Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dA=r\,dr\,d\theta, 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi:
\iiint_{K}1\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}4(1-r^2)\,r\,dr\,d\theta =4\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}(r-r^3)\,dr =8\pi\Bigl[\tfrac{r^2}{2}-\tfrac{r^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} =2\pi.

Resposta

(a) \displaystyle \iiint_{K}f(x,y,z)\,dV é a massa total de um sólido de densidade f (ou o volume em 4D sob o gráfico de f).
(b) Cálculo de massa, centro de massa, momento de inércia, distribuição de carga elétrica, fluxo de calor, etc.
(c) 2\pi

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