Utilize o conceito de integral dupla para calcular a área da menor região delimitada pela reta 2 x+y=6 e pela curva x y=4.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular a área da menor região que é limitada pela reta 2x + y = 6 e pela curva xy = 4. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral dupla, que é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a encontrar áreas e volumes em duas ou mais dimensões. Primeiro, precisamos entender bem as curvas que delimitam a região e depois configurar nossa integral dupla para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar ou esboçar as duas equações para visualizar melhor a região que estamos analisando.
  • A reta 2x + y = 6 pode ser reescrita como y = -2x + 6. Essa é uma reta decrescente que intercepta o eixo y em 6.
  • A curva xy = 4 é uma hipérbola que pode ser reescrita como y = 4x. Essa hipérbola está localizada nos quadrantes I e III.
Ao plotar essas duas curvas, percebemos que elas se intersectam em dois pontos. Vamos encontrar essas interseções para definir os limites da nossa área.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
-2x + 6 = 4x
Multiplicando ambos os lados por x para eliminar o denominador:
-2x^2 + 6x = 4
Rearranjando os termos:
-2x^2 + 6x - 4 = 0
Dividindo tudo por -2 para simplificar:
x^2 - 3x + 2 = 0
Fatorando a equação:
(x - 1)(x - 2) = 0
Então, as soluções são x = 1 e x = 2.
Agora, substituímos esses valores de x na equação y = 4x para encontrar os valores correspondentes de y:
  • Para x = 1: y = 41 = 4
  • Para x = 2: y = 42 = 2
Portanto, os pontos de interseção são (1, 4) e (2, 2).

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, vamos determinar qual das duas curvas está acima da outra no intervalo de x = 1 a x = 2.
Vamos escolher um valor de x no intervalo, por exemplo, x = 1.5:
  • Para a reta: y = -2(1.5) + 6 = -3 + 6 = 3
  • Para a hipérbola: y = 41.5 approx 2.666
Como 3 > 2.666, a reta está acima da hipérbola nesse intervalo. Isso significa que, para calcular a área entre as duas curvas de x = 1 a x = 2, subtrairemos a função da hipérbola da função da reta.

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular a área. Mas, na verdade, para áreas entre duas curvas, geralmente usamos uma única integral definida com a diferença das funções.
A fórmula para a área A entre duas curvas y = f(x) e y = g(x) de x = a a x = b é:
A = integrala^b [f(x) - g(x)] , dx
No nosso caso:
  • f(x) = -2x + 6 (reta)
  • g(x) = 4x (hipérbola)
  • a = 1
  • b = 2

Passo 6

Então, substituindo na fórmula:
A = integral1^2 [(-2x + 6) - 4x] , dx
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
A = integral1^2 (-2x + 6 - 4x) , dx

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
A = integral1^2 (-2x) , dx + integral1^2 6 , dx - integral1^2 4x , dx
Calculando cada integral:
  1. integral (-2x) , dx = -x^2
  2. integral 6 , dx = 6x
  3. integral 4x , dx = 4 ln|x|

Passo 8

Agora, vamos avaliar as integrais nos limites de 1 a 2:
A = [-x^2]1^2 + [6x]1^2 - [4 ln|x|]1^2
Calculando cada parte:
  1. -x^2 de 1 a 2:
-(2)^2 + (1)^2 = -4 + 1 = -3
  1. 6x de 1 a 2:
6(2) - 6(1) = 12 - 6 = 6
  1. 4 ln|x| de 1 a 2:
4 ln(2) - 4 ln(1) = 4 ln(2) - 0 = 4 ln(2)

Passo 9

Agora, somamos todas as partes:
A = -3 + 6 - 4 ln(2) = 3 - 4 ln(2)

Resposta

A área da menor região delimitada pela reta 2x + y = 6 e pela curva xy = 4 é 3 - 4 ln(2) unidades de área.

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