Utilize o conceito de integral dupla para calcular a área da menor região delimitada pela reta
e pela curva
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular a área da menor região que é limitada pela reta
e pela curva
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral dupla, que é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a encontrar áreas e volumes em duas ou mais dimensões. Primeiro, precisamos entender bem as curvas que delimitam a região e depois configurar nossa integral dupla para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar ou esboçar as duas equações para visualizar melhor a região que estamos analisando.
- A reta
pode ser reescrita como . Essa é uma reta decrescente que intercepta o eixo y em 6. - A curva
é uma hipérbola que pode ser reescrita como . Essa hipérbola está localizada nos quadrantes I e III.
Ao plotar essas duas curvas, percebemos que elas se intersectam em dois pontos. Vamos encontrar essas interseções para definir os limites da nossa área.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Rearranjando os termos:
Dividindo tudo por -2 para simplificar:
Fatorando a equação:
Então, as soluções são
e
.
Agora, substituímos esses valores de
na equação
para encontrar os valores correspondentes de
:
- Para
: - Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, vamos determinar qual das duas curvas está acima da outra no intervalo de
a
.
Vamos escolher um valor de
no intervalo, por exemplo,
:
- Para a reta:
- Para a hipérbola:
Como
, a reta está acima da hipérbola nesse intervalo. Isso significa que, para calcular a área entre as duas curvas de
a
, subtrairemos a função da hipérbola da função da reta.
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular a área. Mas, na verdade, para áreas entre duas curvas, geralmente usamos uma única integral definida com a diferença das funções.
A fórmula para a área
entre duas curvas
e
de
a
é:
No nosso caso:
-
(reta) -
(hipérbola) -
-
Passo 6
Então, substituindo na fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Calculando cada integral:
Passo 8
Agora, vamos avaliar as integrais nos limites de 1 a 2:
Calculando cada parte:
-
de 1 a 2:
-
de 1 a 2:
-
de 1 a 2:
Passo 9
Agora, somamos todas as partes:
Resposta
A área da menor região delimitada pela reta
e pela curva
é
unidades de área.