Desenvolva o intervalo de confiança unilateral para
, com intuito de testar:
Passo 1
O enunciado pede que eu desenvolva um intervalo de confiança unilateral para
com o objetivo de testar
contra
Informações/variáveis relevantes que tenho (o enunciado não especificou algumas coisas, então vou considerar os casos usuais):
= tamanho da amostra (número de observações),
= média amostral,
= variância amostral (estimador),
= desvio-padrão populacional (pode ser conhecido ou desconhecido). Vou usar um nível de significância
(logo o intervalo unilateral terá nível de confiança
). A tarefa é construir o intervalo unilateral (limite inferior) para
e explicar passo a passo como chegar nele de forma que sirva para testar
contra
.
Passo 2
Caso 1 — variância populacional
conhecida.
Fundamento probabilístico: quando as observações são independentes e identicamente distribuídas com média e variância
(por exemplo normalidade ou uso do TCL para amostras grandes), a média amostral tem distribuição
Fundamento probabilístico: quando as observações são independentes e identicamente distribuídas com média
Defino o estatístico padronizado
que satisfaz
. Agora quero construir um intervalo unilateral que contenha
com probabilidade
. Para um limite inferior
aleatório (função da amostra) quero
Vou usar propriedades da normal padrão para obter
. Note que, para a normal padrão, o quantil
satisfaz
Mas como meu estatístico é
, é mais conveniente trabalhar com a desigualdade que me dá um limite inferior. Observe que
porque
. Agora resolvo essa desigualdade para
:
Essa forma dá um limite superior aleatório para
. Mas quero expressar o intervalo na forma usual de limite inferior que contenha
com probabilidade
. Alternativamente reorganizo começando por
o que é equivalente. Reescrevendo:
Portanto, o intervalo unilateral (limite inferior) com nível de confiança
é
Interpretação prática: com probabilidade
(sobre repetições do experimento) esse intervalo contém o verdadeiro
. Para um teste
versus
ao nível
, rejeitamos
quando
não pertence ao intervalo, ou seja, quando
o que é algebraicamente equivalente ao teste usual baseado em
:
Passo 3
Caso 2 — variância populacional
desconhecida (assumindo amostras de uma população normal).
Agora uso o estimador amostral e o teorema que garante
Agora uso o estimador amostral
onde
é a distribuição
de Student com
graus de liberdade. Tome
o quantil de ordem
dessa distribuição, ou seja,
Analogamente ao caso conhecido, podemos escrever
e resolver para
:
Logo o intervalo unilatereral (limite inferior) com nível
fica
Interpretação: se
ficar abaixo desse limite inferior, rejeitamos
a favor de
ao nível
; isto é, rejeitamos quando
equivalente ao teste baseado em
:
Passo 4
Caso 3 — aproximação para grandes
(quando a normalidade exata não é garantida).
Pelo Teorema Central do Limite, para grande
Pelo Teorema Central do Limite, para
então uma aproximação prático-computacional (usada quando
é grande) é substituir
por
e usar
no lugar de
. Assim obtemos aproximadamente
válido para
suficientemente grande.
Passo 5
Resumo do procedimento na hora da prova (receita rápida que você pode aplicar passo a passo):
- Escolha
(por exemplo ). - Calcule
e da amostra. Se for conhecida, use . - Se
conhecido, calcule . Se desconhecido e assumir normalidade, calcule . Se grande, pode aproximar por . - O intervalo unilateral de confiança (limite inferior) é
. Para testar contra ao nível , rejeite se (ou, equivalentemente, se o estatístico padronizado quantil apropriado).
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar (apenas para ilustrar os cálculos): suponha
,
,
, e nível
. Para
desconhecida uso
. Então
Intervalo unilateral:
. Se
, então
e eu rejeitaria
a favor de
ao nível
. Se
, então não rejeito.