Desenvolva o intervalo de confiança unilateral para \boldsymbol{\mu}, com intuito de testar:
H 0: \mu=\mu 0
H 1: \mu>\mu 0

Passo 1

O enunciado pede que eu desenvolva um intervalo de confiança unilateral para \mu com o objetivo de testar
H_0:\mu=\mu_0
contra
H_1:\mu>\mu_0.
Informações/variáveis relevantes que tenho (o enunciado não especificou algumas coisas, então vou considerar os casos usuais):
\;n = tamanho da amostra (número de observações), \;\bar X = média amostral, \;S^2 = variância amostral (estimador), \;\sigma = desvio-padrão populacional (pode ser conhecido ou desconhecido). Vou usar um nível de significância \alpha (logo o intervalo unilateral terá nível de confiança 1-\alpha). A tarefa é construir o intervalo unilateral (limite inferior) para \mu e explicar passo a passo como chegar nele de forma que sirva para testar H_0 contra H_1.

Passo 2

Caso 1 — variância populacional \sigma^2 conhecida.
Fundamento probabilístico: quando as observações são independentes e identicamente distribuídas com média \mu e variância \sigma^2 (por exemplo normalidade ou uso do TCL para amostras grandes), a média amostral tem distribuição
\bar X \sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).
Defino o estatístico padronizado
Z=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}},
que satisfaz \;Z\sim N(0,1). Agora quero construir um intervalo unilateral que contenha \mu com probabilidade 1-\alpha. Para um limite inferior L aleatório (função da amostra) quero
P(L\le \mu)=1-\alpha.
Vou usar propriedades da normal padrão para obter L. Note que, para a normal padrão, o quantil \;z_{1-\alpha} satisfaz
P\big(Z \le z_{1-\alpha}\big)=1-\alpha.
Mas como meu estatístico é (\bar X-\mu)/(\sigma/\sqrt{n}), é mais conveniente trabalhar com a desigualdade que me dá um limite inferior. Observe que
P\!\left(\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \ge -z_{1-\alpha}\right)=1-\alpha,
porque \;P(Z\ge -z_{1-\alpha})=P(Z\le z_{1-\alpha})=1-\alpha. Agora resolvo essa desigualdade para \mu:
\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \ge -z_{1-\alpha}
\bar X-\mu \ge -z_{1-\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\mu \le \bar X + z_{1-\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Essa forma dá um limite superior aleatório para \mu. Mas quero expressar o intervalo na forma usual de limite inferior que contenha \mu com probabilidade 1-\alpha. Alternativamente reorganizo começando por
P\!\left(\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \le z_{1-\alpha}\right)=1-\alpha,
o que é equivalente. Reescrevendo:
\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \le z_{1-\alpha}
\bar X - z_{1-\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu.
Portanto, o intervalo unilateral (limite inferior) com nível de confiança 1-\alpha é
\left[\bar X - z_{1-\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\;\infty\right).
Interpretação prática: com probabilidade 1-\alpha (sobre repetições do experimento) esse intervalo contém o verdadeiro \mu. Para um teste H_0:\mu=\mu_0 versus H_1:\mu>\mu_0 ao nível \alpha, rejeitamos H_0 quando \mu_0 não pertence ao intervalo, ou seja, quando
\mu_0 < \bar X - z_{1-\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
o que é algebraicamente equivalente ao teste usual baseado em Z:
\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}> z_{1-\alpha}.

Passo 3

Caso 2 — variância populacional \sigma^2 desconhecida (assumindo amostras de uma população normal).
Agora uso o estimador amostral S e o teorema que garante
T=\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1},
onde t_{n-1} é a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. Tome t_{n-1,\,1-\alpha} o quantil de ordem 1-\alpha dessa distribuição, ou seja,
P\big(T\le t_{n-1,\,1-\alpha}\big)=1-\alpha.
Analogamente ao caso conhecido, podemos escrever
P\!\left(\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}} \le t_{n-1,\,1-\alpha}\right)=1-\alpha,
e resolver para \mu:
\bar X - t_{n-1,\,1-\alpha}\frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu.
Logo o intervalo unilatereral (limite inferior) com nível 1-\alpha fica
\left[\bar X - t_{n-1,\,1-\alpha}\frac{S}{\sqrt{n}},\;\infty\right).
Interpretação: se \mu_0 ficar abaixo desse limite inferior, rejeitamos H_0 a favor de H_1:\mu>\mu_0 ao nível \alpha; isto é, rejeitamos quando
\mu_0 < \bar X - t_{n-1,\,1-\alpha}\frac{S}{\sqrt{n}},
equivalente ao teste baseado em T:
\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt{n}} > t_{n-1,\,1-\alpha}.

Passo 4

Caso 3 — aproximação para grandes n (quando a normalidade exata não é garantida).
Pelo Teorema Central do Limite, para n grande
\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}}\approx N(0,1),
então uma aproximação prático-computacional (usada quando n é grande) é substituir t_{n-1,\,1-\alpha} por z_{1-\alpha} e usar S no lugar de \sigma. Assim obtemos aproximadamente
\left[\bar X - z_{1-\alpha}\frac{S}{\sqrt{n}},\;\infty\right),
válido para n suficientemente grande.

Passo 5

Resumo do procedimento na hora da prova (receita rápida que você pode aplicar passo a passo):
  1. Escolha \alpha (por exemplo \alpha=0,05).
  2. Calcule \bar X e S da amostra. Se \sigma for conhecida, use \sigma.
  3. Se \sigma conhecido, calcule L=\bar X - z_{1-\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}. Se \sigma desconhecido e assumir normalidade, calcule L=\bar X - t_{n-1,\,1-\alpha}\dfrac{S}{\sqrt{n}}. Se n grande, pode aproximar t por z.
  4. O intervalo unilateral de confiança (limite inferior) é [L,\infty). Para testar H_0:\mu=\mu_0 contra H_1:\mu>\mu_0 ao nível \alpha, rejeite H_0 se \mu_0 < L (ou, equivalentemente, se o estatístico padronizado > quantil apropriado).

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (apenas para ilustrar os cálculos): suponha n=25, \bar X=10, S=2, e nível \alpha=0,05. Para \sigma desconhecida uso t_{24,\,0,95}\approx 1,711. Então
L=10-1,711\cdot\frac{2}{\sqrt{25}}=10-1,711\cdot\frac{2}{5}=10-1,711\cdot0,4=10-0,6844\approx 9,3156.
Intervalo unilateral: [9,3156,\infty). Se \mu_0=9, então \mu_0<9,3156 e eu rejeitaria H_0 a favor de H_1:\mu>\mu_0 ao nível 0,05. Se \mu_0=9,5, então não rejeito.

Resposta

\left[\bar X - z_{1-\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\;\infty\right)
\left[\bar X - t_{n-1,\,1-\alpha}\frac{S}{\sqrt{n}},\;\infty\right)

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