Uma indústria elétrica fabrica lâmpadas que têm vida útil distribuída aproximadamente Normal, com média de 800 horas e desvio padrão de 40 horas. Determine a probabilidade de que uma amostra aleatória de 16 lâmpadas terá vida útil média maior que 775 horas.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que a média de uma amostra aleatória de 16 lâmpadas seja maior que 775 horas. As informações dadas são:
A vida útil de lâmpadas é aproximadamente Normal com média \mu=800 horas (dado).
O desvio padrão da população é \sigma=40 horas (dado).
O tamanho da amostra é n=16 (dado).
Queremos calcular \mathbb{P}\big(\overline{X}>775\big), onde \overline{X} é a média das 16 lâmpadas.
Passo 2
Entendendo a distribuição da média amostral (a ideia importante)
Quando tiramos uma amostra de size n de uma população com média \mu e desvio padrão \sigma, a média amostral \overline{X} tem esperança (média) igual à média populacional:
\mathbb{E}(\overline{X})=\mu.
A variância da média amostral é a variância da população dividida por n:
\mathrm{Var}(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}.
Explicação curta do porquê: se X_1,\dots,X_n são independentes com variância \sigma^2, a variância da soma é n\sigma^2; como \overline{X}=\tfrac{1}{n}\sum X_i, \mathrm{Var}(\overline{X})=\tfrac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\sigma^2/n.
O desvio padrão da média amostral (erro padrão) é
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Como a população é aproximadamente Normal, a distribuição de \overline{X} é exatamente Normal: \overline{X}\sim N\big(\mu,\sigma^2/n\big). Portanto podemos usar a normal padrão para calcular probabilidades exatas.
Passo 3
Calcular os parâmetros numéricos da média amostral
Interpretação rápida: isso significa que é muito provável que a média de 16 lâmpadas seja maior que 775 h — faz sentido porque 775 está 25 h abaixo da média populacional e o erro padrão é só 10 h, ou seja estamos a 2{,}5 desvios-padrão da média.