Uma indústria elétrica fabrica lâmpadas que têm vida útil distribuída aproximadamente Normal, com média de 800 horas e desvio padrão de 40 horas. Determine a probabilidade de que uma amostra aleatória de 16 lâmpadas terá vida útil média maior que 775 horas.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a média de uma amostra aleatória de 16 lâmpadas seja maior que 775 horas. As informações dadas são:
  • A vida útil de lâmpadas é aproximadamente Normal com média \mu=800 horas (dado).
  • O desvio padrão da população é \sigma=40 horas (dado).
  • O tamanho da amostra é n=16 (dado).
  • Queremos calcular \mathbb{P}\big(\overline{X}>775\big), onde \overline{X} é a média das 16 lâmpadas.

Passo 2

Entendendo a distribuição da média amostral (a ideia importante)
  • Quando tiramos uma amostra de size n de uma população com média \mu e desvio padrão \sigma, a média amostral \overline{X} tem esperança (média) igual à média populacional:
\mathbb{E}(\overline{X})=\mu.
  • A variância da média amostral é a variância da população dividida por n:
\mathrm{Var}(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}.
Explicação curta do porquê: se X_1,\dots,X_n são independentes com variância \sigma^2, a variância da soma é n\sigma^2; como \overline{X}=\tfrac{1}{n}\sum X_i, \mathrm{Var}(\overline{X})=\tfrac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\sigma^2/n.
  • O desvio padrão da média amostral (erro padrão) é
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Como a população é aproximadamente Normal, a distribuição de \overline{X} é exatamente Normal: \overline{X}\sim N\big(\mu,\sigma^2/n\big). Portanto podemos usar a normal padrão para calcular probabilidades exatas.

Passo 3

Calcular os parâmetros numéricos da média amostral
  • Média da média amostral:
\mathbb{E}(\overline{X})=\mu=800.
  • Erro padrão:
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{40}{\sqrt{16}}=\frac{40}{4}=10.
Intuição rápida: enquanto uma lâmpada tem desvio padrão 40 h, a média de 16 lâmpadas varia menos — aqui apenas 10 h.

Passo 4

Padronizar para usar a tabela da Normal padrão
  • Queremos \mathbb{P}\big(\overline{X}>775\big). Padronizando:
Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma_{\overline{X}}}=\frac{\overline{X}-800}{10}.
  • Para \overline{X}=775 temos
z=\frac{775-800}{10}=\frac{-25}{10}=-2{,}5.
  • Assim
\mathbb{P}\big(\overline{X}>775\big)=\mathbb{P}\big(Z>-2{,}5\big).

Passo 5

Usar simetria da Normal padrão para achar a probabilidade
  • Pela simetria da Normal padrão, \mathbb{P}(Z>-2{,}5)=\mathbb{P}(Z<2{,}5).
  • O valor da função de distribuição da Normal padrão em 2{,}5 (tabela Z ou calculadora) é aproximadamente 0{,}9938.
  • Portanto
\mathbb{P}\big(\overline{X}>775\big)\approx 0{,}9938.
Interpretação rápida: isso significa que é muito provável que a média de 16 lâmpadas seja maior que 775 h — faz sentido porque 775 está 25 h abaixo da média populacional e o erro padrão é só 10 h, ou seja estamos a 2{,}5 desvios-padrão da média.

Resposta

0,9938

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