O tempo médio estipulado para uma tarefa diária é de \mathbf{4 0} minutos. O tempo médio segue uma distribuição normal. Em uma amostra aleatória de 9 dias constatou-se que o tempo médio foi de 42 minutos com desvio padrão de \mathbf{2 , 1} minutos. Teste, ao nível de significância de 2 \%, se o valor estipulado está correto. Realize um teste bilateral. Tome sua decisão baseada em duas abordagens: pelo procedimento de estatística de teste e pelo Intervalo de Confiança.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que se pede):\n
  • O enunciado informa que o tempo médio estipulado para a tarefa diária é \mu_0 = 40 minutos.\n
  • Foi obtida uma amostra aleatória de n = 9 dias com média amostral \bar{x} = 42 minutos e desvio padrão amostral s = 2{,}1 minutos.\n
  • Assume-se que o tempo segue distribuição normal.\n
  • Pede-se testar, ao nível de significância de \alpha = 2\%, se o valor estipulado \mu_0 = 40 está correto. O teste deve ser bilateral.\n
  • Pede-se tomar a decisão por duas abordagens: (A) procedimento de estatística de teste e (B) pelo intervalo de confiança.\n

Passo 2

Definição formal das hipóteses e escolha do procedimento (sem resolver ainda):\n
  • Hipóteses (teste bilateral):\n
H_0: \mu = 40\n
H_1: \mu \neq 40\n
  • Como a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena ( n=9), usaremos o teste t de Student com n-1 graus de liberdade.\n
  • Nível de significância bilateral: \alpha = 0{,}02, logo \alpha/2 = 0{,}01 para cada cauda.\n

Passo 3

Fórmula da estatística de teste e explicação das variáveis (aula rápida):\n
  • A estatística t para testar a média quando \sigma é desconhecida é dada por\n
t \;=\; \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\n
onde:\n
  • \bar{x} é a média amostral;\n
  • \mu_0 é o valor assumido sob H_0;\n
  • s é o desvio padrão amostral (estimativa de \sigma);\n
  • n é o tamanho da amostra;\n
  • t segue a distribuição t de Student com df = n-1 graus de liberdade sob H_0.\n
    Comentário prático: usamos essa estatística porque a distribuição amostral de \bar{x} normalizada por s/\sqrt{n} tem variabilidade extra por termos estimado \sigma; por isso aparece a distribuição t em vez da normal Z.\n

Passo 4

Cálculo da estatística de teste passo a passo:\n
  • Primeiro calculemos o erro padrão da média (EPM):\n
\text{EPM} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{2{,}1}{\sqrt{9}} = \frac{2{,}1}{3} = 0{,}7\n
  • Agora a estatística t:\n
t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{\text{EPM}} = \frac{42-40}{0{,}7} = \frac{2}{0{,}7} = 2{,}857142\ldots\n
Arredondando, \;t \approx 2{,}857.\n

Passo 5

Determinação da região crítica (valores críticos) e decisão pelo procedimento do teste:\n
  • Graus de liberdade: df = n-1 = 8.\n
  • Para \alpha/2 = 0{,}01 e df=8 o valor crítico da t é (tabela de Student):\n
t_{8,\,0{,}01} \approx 2{,}896\n
  • Como o teste é bilateral, a região crítica é \,|t| > 2{,}896.\n
  • Com nossa estatística |t| \approx 2{,}857, vemos que |t| < 2{,}896. Portanto não caímos na região crítica.\n
  • Conclusão pelo procedimento do teste: ao nível de significância \alpha=0{,}02, não há evidência suficiente para rejeitar H_0. Em palavras: não rejeitamos que a média seja 40 minutos.\n

Passo 6

Cálculo do p-valor (interpretação adicional):\n
  • O p-valor bilateral é p = 2\cdot P(T_{8} \ge |t|).\n
  • Para |t|=2{,}857 com df=8, consultando tabela ou software, obtemos aproximadamente p \approx 0{,}021.\n
  • Interpretação: p\approx 0{,}021 > \alpha = 0{,}02, o que confirma a decisão de não rejeitar H_0.\n

Passo 7

Construção do intervalo de confiança de 98\% para \mu (ligação com o teste):\n
  • O intervalo de confiança bilateral de nível 1-\alpha = 0{,}98 é\n
\bar{x} \pm t_{n-1,\,\alpha/2}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\n
  • Já temos \bar{x}=42, t_{8,\,0{,}01}\approx 2{,}896 e \frac{s}{\sqrt{n}}=0{,}7.\n
  • Margem de erro:\n
\text{ME} = 2{,}896 \times 0{,}7 = 2{,}0272\n
  • Logo o intervalo é:\n
42 \pm 2{,}0272 \;\Rightarrow\; [42-2{,}0272,\;42+2{,}0272] = [39{,}9728,\;44{,}0272]\n

Passo 8

Decisão usando o intervalo de confiança e interpretação didática:\n
  • Teste por IC: se o valor proposto \mu_0=40 estiver dentro do intervalo de confiança de 98\%, então não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}02.\n
  • Aqui \mu_0=40 está dentro do intervalo [39{,}9728,\;44{,}0272].\n
  • Portanto a decisão pelo intervalo de confiança concorda com o teste: não rejeitar H_0.\n
  • Interpretação em linguagem simples: com a amostra de 9 dias obtivemos média 42, mas a incerteza amostral (desvio amostral 2{,}1 e pequena amostra) faz com que um valor real da média igual a 40 seja compatível com os dados ao nível de confiança escolhido. Ou seja, não há evidência estatística forte o bastante (ao nível de 2%) para afirmar que a média difere de 40.\n

Resposta

Decisão pelo procedimento do teste (t de Student): Não rejeitar H_0 (estatística t \approx 2{,}857, valor crítico \pm 2{,}896, p\text{-value}\approx 0{,}021).\n
Decisão pelo intervalo de confiança de 98\%: Não rejeitar H_0 pois \mu_0=40 está dentro do IC [39{,}9728,\;44{,}0272].

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