O tempo médio estipulado para uma tarefa diária é de
minutos. O tempo médio segue uma distribuição normal. Em uma amostra aleatória de 9 dias constatou-se que o tempo médio foi de 42 minutos com desvio padrão de
minutos. Teste, ao nível de significância de
, se o valor estipulado está correto. Realize um teste bilateral. Tome sua decisão baseada em duas abordagens: pelo procedimento de estatística de teste e pelo Intervalo de Confiança.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que se pede):\n
- O enunciado informa que o tempo médio estipulado para a tarefa diária é
minutos.\n - Foi obtida uma amostra aleatória de
dias com média amostral minutos e desvio padrão amostral minutos.\n - Assume-se que o tempo segue distribuição normal.\n
- Pede-se testar, ao nível de significância de
, se o valor estipulado está correto. O teste deve ser bilateral.\n - Pede-se tomar a decisão por duas abordagens: (A) procedimento de estatística de teste e (B) pelo intervalo de confiança.\n
Passo 2
Definição formal das hipóteses e escolha do procedimento (sem resolver ainda):\n
- Hipóteses (teste bilateral):\n
- Como a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena (
), usaremos o teste t de Student com graus de liberdade.\n - Nível de significância bilateral:
, logo para cada cauda.\n
Passo 3
Fórmula da estatística de teste e explicação das variáveis (aula rápida):\n
- A estatística t para testar a média quando
é desconhecida é dada por\n
onde:\n
-
é a média amostral;\n -
é o valor assumido sob ;\n -
é o desvio padrão amostral (estimativa de );\n -
é o tamanho da amostra;\n -
segue a distribuição de Student com graus de liberdade sob .\n
Comentário prático: usamos essa estatística porque a distribuição amostral denormalizada por tem variabilidade extra por termos estimado ; por isso aparece a distribuição em vez da normal .\n
Passo 4
Cálculo da estatística de teste passo a passo:\n
- Primeiro calculemos o erro padrão da média (EPM):\n
- Agora a estatística t:\n
Arredondando,
.\n
Passo 5
Determinação da região crítica (valores críticos) e decisão pelo procedimento do teste:\n
- Graus de liberdade:
.\n - Para
e o valor crítico da t é (tabela de Student):\n
- Como o teste é bilateral, a região crítica é
.\n - Com nossa estatística
, vemos que . Portanto não caímos na região crítica.\n - Conclusão pelo procedimento do teste: ao nível de significância
, não há evidência suficiente para rejeitar . Em palavras: não rejeitamos que a média seja minutos.\n
Passo 6
Cálculo do p-valor (interpretação adicional):\n
- O p-valor bilateral é
.\n - Para
com , consultando tabela ou software, obtemos aproximadamente .\n - Interpretação:
, o que confirma a decisão de não rejeitar .\n
Passo 7
Construção do intervalo de confiança de
para
(ligação com o teste):\n
- O intervalo de confiança bilateral de nível
é\n
- Já temos
, e .\n - Margem de erro:\n
- Logo o intervalo é:\n
Passo 8
Decisão usando o intervalo de confiança e interpretação didática:\n
- Teste por IC: se o valor proposto
estiver dentro do intervalo de confiança de , então não rejeitamos ao nível .\n - Aqui
está dentro do intervalo .\n - Portanto a decisão pelo intervalo de confiança concorda com o teste: não rejeitar
.\n - Interpretação em linguagem simples: com a amostra de 9 dias obtivemos média 42, mas a incerteza amostral (desvio amostral
e pequena amostra) faz com que um valor real da média igual a 40 seja compatível com os dados ao nível de confiança escolhido. Ou seja, não há evidência estatística forte o bastante (ao nível de 2%) para afirmar que a média difere de 40.\n
Resposta
Decisão pelo procedimento do teste (t de Student): Não rejeitar
(estatística
, valor crítico
,
).\n
Decisão pelo intervalo de confiança de : Não rejeitar
pois
está dentro do IC
.
Decisão pelo intervalo de confiança de