Um pesquisador deseja estimar a produção diária de um processo químico com base na observação da produção de três realizações: \boldsymbol{X} \mathbf{1}, \boldsymbol{X} \mathbf{2}, \boldsymbol{X} \mathbf{3}. Considere os dois estimadores da média:
\hat{\theta}_{1}=\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}}{3} \quad \text { e } \quad \hat{\theta}_{2}=\frac{X_{1}+2 X_{2}+X_{3}}{4}
Qual você usaria na prática? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá três observações \boldsymbol{X}_1,\boldsymbol{X}_2,\boldsymbol{X}_3 e propõe dois estimadores da média verdadeira \theta:
\hat{\theta}_{1}=\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}}{3}
\hat{\theta}_{2}=\frac{X_{1}+2X_{2}+X_{3}}{4}
A pergunta é: qual desses dois eu usaria na prática? Justificar a escolha.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que usarei: as formas dos dois estimadores e que são baseados nas mesmas três observações. O enunciado não dá distribuições específicas nem variâncias diferentes por observação, então vou assumir o cenário padrão em provas: as observações são independentes, todas com mesma média \theta e mesma variância \sigma^{2}.

Passo 2

Verificar se os estimadores são viesados ou não (unbiasedness).
Conceito rápido: um estimador \hat{\theta} é não viesado se \mathbb{E}(\hat{\theta})=\theta. Vou usar a linearidade da esperança, que diz que \mathbb{E}(aX+bY)=a\mathbb{E}(X)+b\mathbb{E}(Y). Aqui \mathbb{E}(X_i)=\theta para cada i.
Calculemos \mathbb{E}(\hat{\theta}_1):
\mathbb{E}\!\left(\hat{\theta}_1\right) = \mathbb{E}\!\left(\frac{X_1+X_2+X_3}{3}\right) = \frac{1}{3}\big(\mathbb{E}(X_1)+\mathbb{E}(X_2)+\mathbb{E}(X_3)\big) = \frac{1}{3}( \theta+\theta+\theta ) = \theta.
Logo \hat{\theta}_1 é não viesado.
Agora \mathbb{E}(\hat{\theta}_2):
\mathbb{E}\!\left(\hat{\theta}_2\right) = \mathbb{E}\!\left(\frac{X_1+2X_2+X_3}{4}\right) = \frac{1}{4}\big(\mathbb{E}(X_1)+2\mathbb{E}(X_2)+\mathbb{E}(X_3)\big) = \frac{1}{4}( \theta+2\theta+\theta ) = \theta.
Portanto \hat{\theta}_2 também é não viesado.
Comentário: quando ambos são não viesados, uma forma natural de escolher é comparar suas variâncias (ou MSE).

Passo 3

Calcular as variâncias. Conceito usado: se X_1,X_2,X_3 são independentes e cada um tem variância \sigma^{2}, então
\operatorname{Var}\!\left(\sum a_i X_i\right)=\sum a_i^2 \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^{2}\sum a_i^2.
Isto decorre da independência (não há termos de covariância) e da propriedade \operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X).
Para \hat{\theta}_1 os coeficientes são todos 1/3. Assim
\operatorname{Var}\!\left(\hat{\theta}_1\right) = \sigma^{2}\left[\left(\tfrac{1}{3}\right)^2+\left(\tfrac{1}{3}\right)^2+\left(\tfrac{1}{3}\right)^2\right] = \sigma^{2}\cdot 3\cdot\left(\tfrac{1}{9}\right) = \sigma^{2}\cdot \tfrac{1}{3}.

Passo 4

Para \hat{\theta}_2 os coeficientes são 1/4,\;2/4=\tfrac{1}{2},\;1/4. Então
\operatorname{Var}\!\left(\hat{\theta}_2\right) = \sigma^{2}\left[\left(\tfrac{1}{4}\right)^2+\left(\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(\tfrac{1}{4}\right)^2\right] = \sigma^{2}\left(\tfrac{1}{16}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{16}\right) = \sigma^{2}\left(\tfrac{1+4+1}{16}\right) = \sigma^{2}\cdot \tfrac{6}{16} = \sigma^{2}\cdot \tfrac{3}{8}.

Passo 5

Comparação numérica das variâncias:
\operatorname{Var}\!\left(\hat{\theta}_1\right)=\sigma^{2}\cdot \tfrac{1}{3}\approx 0{,}333\\ \sigma^{2},
\operatorname{Var}\!\left(\hat{\theta}_2\right)=\sigma^{2}\cdot \tfrac{3}{8}=0{,}375\\ \sigma^{2}.
Como \tfrac{1}{3}<\tfrac{3}{8}, concluímos que \hat{\theta}_1 tem variância menor que \hat{\theta}_2.

Passo 6

Interpretação prática e justificativa final:
  • Ambos os estimadores são não viesados, então o critério de seleção natural é a variância (ou o erro quadrático médio, MSE). Para estimadores não viesados, MSE = variância.
  • \hat{\theta}_1 tem variância menor que \hat{\theta}_2 no cenário padrão em que as observações são independentes e têm a mesma variância. Portanto \hat{\theta}_1 é mais eficiente (menor incerteza) e é preferível.
  • Intuição simples: dar peso maior a uma única observação (aqui X_2 em \hat{\theta}_2) aumenta a contribuição da variabilidade dessa observação ao estimador por causa do termo quadrático do coeficiente. O balanceamento por pesos iguais minimiza a soma dos quadrados dos coeficientes quando variâncias são iguais.
  • Observação importante (caveat): se houver motivo para crer que X_2 é mais preciso (por exemplo, tem variância menor) ou informativo, então estimadores ponderados podem ser melhores — mas o enunciado não diz isso. No caso sem informação extra, o estimador simples \hat{\theta}_1 (média aritmética) é a escolha prática e robusta.
  • Exemplo numérico rápido para fixar: se \sigma^{2}=1, então \operatorname{Var}(\hat{\theta}_1)=0{,}333 e \operatorname{Var}(\hat{\theta}_2)=0{,}375. A diferença pode parecer pequena, mas em amostras e em repetidas medições a média simples tende a ser mais estável.

Passo 7

Resumo motivacional: eu sei que é chato decidir entre estimadores na pressão da prova, mas aqui a regra “se ambos são não viesados, escolha o que tem menor variância” vale direitinho. A média simples \hat{\theta}_1 é a alternativa mais segura quando não há informação adicional sobre qualidade diferente das observações.

Resposta

Usaria \hat{\theta}_{1}.

Exercícios relacionados