Um pesquisador deseja estimar a produção diária de um processo químico com base na observação da produção de três realizações:
. Considere os dois estimadores da média:
Qual você usaria na prática? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá três observações
e propõe dois estimadores da média verdadeira
:
A pergunta é: qual desses dois eu usaria na prática? Justificar a escolha.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que usarei: as formas dos dois estimadores e que são baseados nas mesmas três observações. O enunciado não dá distribuições específicas nem variâncias diferentes por observação, então vou assumir o cenário padrão em provas: as observações são independentes, todas com mesma média e mesma variância
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que usarei: as formas dos dois estimadores e que são baseados nas mesmas três observações. O enunciado não dá distribuições específicas nem variâncias diferentes por observação, então vou assumir o cenário padrão em provas: as observações são independentes, todas com mesma média
Passo 2
Verificar se os estimadores são viesados ou não (unbiasedness).
Conceito rápido: um estimador é não viesado se
. Vou usar a linearidade da esperança, que diz que
. Aqui
para cada
.
Conceito rápido: um estimador
Calculemos
:
Logo
é não viesado.
Agora
:
Portanto
também é não viesado.
Comentário: quando ambos são não viesados, uma forma natural de escolher é comparar suas variâncias (ou MSE).
Passo 3
Calcular as variâncias. Conceito usado: se
são independentes e cada um tem variância
, então
Isto decorre da independência (não há termos de covariância) e da propriedade
.
Para
os coeficientes são todos
. Assim
Passo 4
Para
os coeficientes são
. Então
Passo 5
Comparação numérica das variâncias:
Como
, concluímos que
tem variância menor que
.
Passo 6
Interpretação prática e justificativa final:
- Ambos os estimadores são não viesados, então o critério de seleção natural é a variância (ou o erro quadrático médio, MSE). Para estimadores não viesados, MSE = variância.
-
tem variância menor que no cenário padrão em que as observações são independentes e têm a mesma variância. Portanto é mais eficiente (menor incerteza) e é preferível. - Intuição simples: dar peso maior a uma única observação (aqui
em ) aumenta a contribuição da variabilidade dessa observação ao estimador por causa do termo quadrático do coeficiente. O balanceamento por pesos iguais minimiza a soma dos quadrados dos coeficientes quando variâncias são iguais. - Observação importante (caveat): se houver motivo para crer que
é mais preciso (por exemplo, tem variância menor) ou informativo, então estimadores ponderados podem ser melhores — mas o enunciado não diz isso. No caso sem informação extra, o estimador simples (média aritmética) é a escolha prática e robusta. - Exemplo numérico rápido para fixar: se
, então e . A diferença pode parecer pequena, mas em amostras e em repetidas medições a média simples tende a ser mais estável.
Passo 7
Resumo motivacional: eu sei que é chato decidir entre estimadores na pressão da prova, mas aqui a regra “se ambos são não viesados, escolha o que tem menor variância” vale direitinho. A média simples
é a alternativa mais segura quando não há informação adicional sobre qualidade diferente das observações.
Resposta
Usaria
.