Desenvolva um modelo de regressão simples (assuma que [H1] é válida) do tipo log-lin e estime os parâmetros da equação. Analisando os coeficientes, qual a interpretação dos parâmetros?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenvolver um modelo de regressão simples do tipo log-linear, assumindo que a hipótese é válida. Vamos entender o que isso significa e quais conceitos precisamos para resolver.
Conteúdo da matéria: Regressão linear simples, modelos log-lineares, estimação de parâmetros e interpretação de coeficientes.
O que precisamos:
  • Entender o que é um modelo log-linear.
  • Saber como estimar os parâmetros da equação.
  • Aprender a interpretar os coeficientes resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o modelo de regressão log-linear. Nesse tipo de modelo, usamos o logaritmo natural da variável dependente ln(Y) = beta0 + beta1 X + epsilon como função linear da variável explicativa . A equação fica assim:
Onde:
  • é o logaritmo natural de .
  • é o intercepto.
  • é o coeficiente angular.
  • é o termo de erro.

Passo 3

Agora, vamos estimar os parâmetros beta1 = sum (Xi - X)(ln(Yi) - ln(Y))sum (Xi - X)^2 e beta0 = ln(Y) - beta1 X . Para isso, geralmente usamos o método dos mínimos quadrados, que busca minimizar a soma dos quadrados dos resíduos (diferenças entre os valores observados e os valores previstos pelo modelo).
Sem dados específicos, não podemos calcular números exatos, mas podemos expressar as fórmulas de estimação:
Onde e são as médias das observações de e , respectivamente.

Passo 4

Depois de estimar e , interpretamos os coeficientes:
  • (intercepto): Representa o valor esperado de quando . Em termos práticos, é o ponto onde a linha de regressão cruza o eixo .
  • (coeficiente angular): Indica a variação esperada em para cada unidade de aumento em . Como estamos usando log-linear, isso também pode ser interpretado como uma taxa de crescimento relativa.

Passo 5

Para facilitar a interpretação, especialmente de Percentual de variação de Y approx beta1 times 100% , podemos converter o coeficiente para uma porcentagem.
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Isso significa que um aumento de uma unidade em está associado a um aumento de aproximadamente em , mantendo outros fatores constantes.

Resposta

Desenvolvemos um modelo de regressão log-linear . Os parâmetros estimados e representam, respectivamente, o valor esperado de quando e a taxa de variação percentual de para cada unidade de aumento em . Portanto, indica quanto cresce em porcentagem quando aumenta uma unidade.

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