Se X e Y são variáveis aleatórias com densidade conjunta
f(x, y)=cl x5+c y, & 0á
Encontre o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de (X, Y).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias f(x,y)= dfracx5+c,y, & 0 e com densidade conjunta
á
A matéria é de variáveis aleatórias contínuas: precisamos achar a constante de normalização , depois os momentos , , , , e, a partir daí, montar o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias. Vou explicar cada integral direitinho, sem pular nada.

Passo 2

A primeira coisa é forçar integralx=0^1integraly=1^5l(tfracx5+c,yr),dy,dx = 1 .
Para integral0^1l(tfrac4x5+12cr),dx =45cdotx^22|0^1+12ccdot1 =25+12c , 25+12c=1 ;Longrightarrow; 12c=35 ;Longrightarrow; c=120 :
Calculemos por partes:

  1. Somando e integrando em :
Igualando a 1:

Passo 3

Agora E[X]=integral0^1!integral1^5x,f(x,y),dy,dx . Por definição,
E[X] =integral0^1l(tfrac4x^25+tfrac3x5r)dx =45cdotx^33|0^1 +35cdotx^22|0^1 =415+310 =1730
Substituindo :

(calculando como no passo anterior).
Então

Passo 4

E[Y] =integral0^1!integral1^5 yl(tfracx5+tfrac120yr)dy,dx :
integral0^1l(tfrac12x5+tfrac3115r)dx =125cdot12+3115cdot1 =65+3115 =4915
Dentro de dá duas partes:

  1. Somando e integrando em :

Passo 5

Precisamos também de integral0^1!integral1^5 x^2l(tfracx5+tfrac120yr)dy,dx ;longrightarrow; integral0^1l(tfrac4x^35+tfrac3x^25r)dx = 15+15 = 25 , integral0^1!integral1^5 y^2l(tfracx5+tfrac120yr)dy,dx ;longrightarrow; integral0^1l(tfrac124x15+tfrac395r)dx = 6215+395 = 17915 e integral0^1!integral1^5 x yl(tfracx5+tfrac120yr)dy,dx ;longrightarrow; integral0^1l(tfrac12x^25+tfrac31x15r)dx = 45+3130 = 116 para variância e covariância:

Passo 6

Agora a gente monta:
  • Var
  • Var
  • Cov

Resposta

Vetor de médias
[
\mu = mu = E[X] E[Y] = tfrac1730[6pt] tfrac4915 ,

Sigma = var(X) & cov(X,Y)[6pt] cov(X,Y) & var(Y) = tfrac71900 & -tfrac4225[6pt] -tfrac4225 & tfrac284225 ,
]
Matriz de variâncias e covariâncias
[
\Sigma =

.
]

Exercícios relacionados