Desenvolva o polinômio de Taylor da função y=raiz[3]x em torno de x=1 até a quinta ordem. Com o polinômio formado, obtenha uma aproximação para raiz[3]2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenvolver o polinômio de Taylor da função $ y = \sqrt[3]{x} $ em torno de $ x = 1 $ até a quinta ordem. Depois disso, com esse polinômio, vamos calcular uma aproximação para $ \sqrt[3]{2} $.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o polinômio de Taylor e como calculá-lo. O polinômio de Taylor é uma maneira de aproximar funções complicadas usando polinômios mais simples, baseando-se nas derivadas da função no ponto escolhido (neste caso, $ x = 1 $).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do polinômio de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de um ponto $ a $ até a quinta ordem:
f(x)
Aqui, $ f^{(n)}(a) $ representa a n-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ a $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3} $ até a quinta ordem e avaliá-las em $ x = 1 $.
Primeira derivada:
f(x) = raiz[3]x = x^1/3
x = 1
Segunda derivada:
f'(x) = 13x^-2/3
f'(1) = 13
Terceira derivada:
f''(x) = -29x^-5/3
f''(1) = -29
Quarta derivada:
f'''(x) = 1027x^-8/3
f'''(1) = 1027
Quinta derivada:
f''''(x) = -8081x^-11/3
f''''(1) = -8081

Passo 4

Com todas as derivadas calculadas, vamos montar o polinômio de Taylor $ P_5(x) $:
P5(x)
Simplificando os coeficientes:
P5(x) = raiz[3]1 + 13(x - 1) + -292(x - 1)^2 + 10276(x - 1)^3 + -808124(x - 1)^4 + 880243120(x - 1)^5

Passo 5

Agora que temos o polinômio de Taylor, vamos usá-lo para aproximar $ \sqrt[3]{2} $. Para isso, substituímos $ x = 2 $ no polinômio:
raiz[3]2
Como $ (2 - 1) = 1 $, simplificamos:
x = 2

Passo 6

Vamos somar os termos:
1 + 13 = 43
43 - 19 = 129 - 19 = 119
119 + 581 = 9981 + 581 = 10481
10481 - 10243 = 312243 - 10243 = 302243
302243 + 11243 = 313243

Resposta

Aproximação para $ \sqrt[3]{2} $ utilizando o polinômio de Taylor até a quinta ordem é:
raiz[3]2

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