Desenvolva o polinômio de Taylor da função
em torno de
até a quinta ordem. Com o polinômio formado, obtenha uma aproximação para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenvolver o polinômio de Taylor da função $ y = \sqrt[3]{x} $ em torno de $ x = 1 $ até a quinta ordem. Depois disso, com esse polinômio, vamos calcular uma aproximação para $ \sqrt[3]{2} $.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o polinômio de Taylor e como calculá-lo. O polinômio de Taylor é uma maneira de aproximar funções complicadas usando polinômios mais simples, baseando-se nas derivadas da função no ponto escolhido (neste caso, $ x = 1 $).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do polinômio de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de um ponto $ a $ até a quinta ordem:
Aqui, $ f^{(n)}(a) $ representa a n-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ a $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3} $ até a quinta ordem e avaliá-las em $ x = 1 $.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Quinta derivada:
Passo 4
Com todas as derivadas calculadas, vamos montar o polinômio de Taylor $ P_5(x) $:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Agora que temos o polinômio de Taylor, vamos usá-lo para aproximar $ \sqrt[3]{2} $. Para isso, substituímos $ x = 2 $ no polinômio:
Como $ (2 - 1) = 1 $, simplificamos:
Passo 6
Vamos somar os termos:
Resposta
Aproximação para $ \sqrt[3]{2} $ utilizando o polinômio de Taylor até a quinta ordem é: