Resolva as seguintes EDOs
1x y^prime-2 yx^2=x cos (x), x>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
1x y' - 2 yx^2 = x cos(x), x > 0
Vamos usar conhecimentos de Equações Diferenciais Lineares, que nos ajudam a encontrar soluções para esse tipo de equação. Precisaremos entender o que é um fator integrante e como aplicá-lo para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para o formato padrão das equações lineares. Multiplicando todos os termos por $ x $ para eliminar o denominador, temos:
x
Agora, ela está na forma:
y' - 2x y = x^2 cos(x)
onde $ P(x) = -\frac{2}{x} $ e $ Q(x) = x^{2} \cos(x) $.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante ($ \mu(x) $). Isso é feito usando a fórmula:
mu(x)
Substituindo $ P(x) $:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Então, nosso fator integrante é $ \mu(x) = \frac{1}{x^{2}} $.

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
1x^2 y' - 2x^3 y = 1x^2 cdot x^2 cos(x) Rightarrow 1x^2 y' - 2x^3 y = cos(x)
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $:
mu(x) y

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
Isso simplifica para:
integral ddx ( yx^2 ) dx = integral cos(x) dx
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para $ y $ multiplicando ambos os lados por $ x^{2} $:
y
Ou seja,
x^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = x^2 sin(x) + C x^2
onde $ C $ é uma constante qualquer.

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