Resolva as seguintes EDOs
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Vamos usar conhecimentos de Equações Diferenciais Lineares, que nos ajudam a encontrar soluções para esse tipo de equação. Precisaremos entender o que é um fator integrante e como aplicá-lo para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para o formato padrão das equações lineares. Multiplicando todos os termos por $ x $ para eliminar o denominador, temos:
Agora, ela está na forma:
onde $ P(x) = -\frac{2}{x} $ e $ Q(x) = x^{2} \cos(x) $.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante ($ \mu(x) $). Isso é feito usando a fórmula:
Substituindo $ P(x) $:
Então, nosso fator integrante é $ \mu(x) = \frac{1}{x^{2}} $.
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
Isso simplifica para:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para $ y $ multiplicando ambos os lados por $ x^{2} $:
Ou seja,
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante qualquer.