Calcule integralgamma(x^2+y^2) d s, onde gamma(t)=(cos t, sin t), t in[0,2 pi].

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de linha de uma função escalar ao longo da circunferência unitária. O conteúdo é integrais de linha de funções escalares, e vamos precisar usar a parametrização da curva e a expressão de ds.

Passo 2

Primeiro vamos obter ds. Como gamma(t)=(cos t,sin t), temos
gamma'(t)=(-sin t,cos t)
e portanto
|gamma'(t)|=raiz(-sin t)^2+(cos t)^2=1,
ou seja, ds=|gamma'(t)|,dt=dt.

Passo 3

Agora expressamos x^2+y^2 ao longo da curva. Para gamma(t) vale
x^2+y^2=cos^2t+sin^2t=1

Passo 4

Substituindo na integral de linha escalar temos
integralgamma(x^2+y^2),ds=integral0^2pi1cdot dt
Basta então calcular
integral0^2pidt=2pi

Resposta

2pi

Exercícios relacionados