Resolva as seguintes EDOs
x y^prime=y+x^3+3 x^2-2 x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial ordinária (EDO):
x y^prime = y + x^3 + 3 x^2 - 2 x
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre EDOs lineares e o método do fator integrante. Vamos seguir um passo a passo para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que fique na forma padrão de uma EDO linear, que é:
y^prime + P(x) y = Q(x)
Dividindo ambos os lados da equação original por $ x $, temos:
x
Aqui, identificamos que $ P(x) = -\frac{1}{x} $ e $ Q(x) = x^{2} + 3x - 2 $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $. Ele é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = -\frac{1}{x} $:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Simplificando, $ \mu(x) = \frac{1}{x} $.

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)
Simplificando os termos:
1x y^prime - 1x^2 y = x^2x + 3xx - 2x

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $:
mu(x) y
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $.

Passo 6

Integrando:
integral ddx ( yx ) dx = integral ( x + 3 - 2x ) dx
O lado esquerdo é apenas $ \frac{y}{x} $.
No lado direito, integramos termo a termo:
yx
integral x dx = x^22
integral 3 dx = 3x
Então:
integral -2x dx = -2 ln |x|

Passo 7

Finalmente, resolvemos para $ y $ multiplicando ambos os lados por $ x $:
y
Simplificando:
x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x^32 + 3x^2 - 2x ln |x| + Cx

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