Resolva as seguintes EDOs
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial ordinária (EDO):
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre EDOs lineares e o método do fator integrante. Vamos seguir um passo a passo para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que fique na forma padrão de uma EDO linear, que é:
Dividindo ambos os lados da equação original por $ x $, temos:
Aqui, identificamos que $ P(x) = -\frac{1}{x} $ e $ Q(x) = x^{2} + 3x - 2 $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $. Ele é dado por:
Substituindo $ P(x) = -\frac{1}{x} $:
Simplificando, $ \mu(x) = \frac{1}{x} $.
Passo 4
Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(x) $:
Simplificando os termos:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $.
Passo 6
Integrando:
O lado esquerdo é apenas $ \frac{y}{x} $.
No lado direito, integramos termo a termo:
Então:
Passo 7
Finalmente, resolvemos para $ y $ multiplicando ambos os lados por $ x $:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: