Desenvolva a potência seguinte
(1b^2-b)^6
usando o Teorema do Binômio.

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a potência l(tfrac1b^2-br)^6 usando o Teorema do Binômio. O conteúdo envolve expansão de binômio e vamos precisar lembrar a fórmula geral e calcular cada termo.

Passo 2

O Teorema do Binômio estabelece que, para dois termos A e C e inteiro n>=0:
(A + C)^n = sumk=0^n binomnk A^n-k ,C^k
Aqui temos A = tfrac1b^2, C = -b e n=6. O termo geral é
Tk = binom6k l(tfrac1b^2r)^6-k(-b)^k, k=0,1,dots,6

Passo 3

Agora calculamos cada termo simplificando as potências de b e o sinal:
Para k=0:
$$T_{0} = \binom{6}{0},b^{-12} = b^{-12}.
T0 = binom60,b^-12 = b^-12 T_{1} = \binom{6}{1} \frac{(-b)}{b^{10}} = 6\cdot(-b^{-9}) = -6b^{-9}.
k=1T_{2} = \binom{6}{2} \frac{b{2}}{b{8}} = 15b^{-6}.
T1 = binom61 (-b)b^10 = 6cdot(-b^-9) = -6b^-9 T_{3} = \binom{6}{3} \frac{(-b{3})}{b{6}} = 20\cdot(-b^{-3}) = -20b^{-3}.
k=2T_{4} = \binom{6}{4} \frac{b{4}}{b{4}} = 15.
T2 = binom62 b^2b^8 = 15b^-6 T_{5} = \binom{6}{5} \frac{(-b{5})}{b{2}} = 6\cdot(-b^{3}) = -6b^{3}.
k=3T_{6} = \binom{6}{6}(-b)^{6} = b^{6}.
$$

Passo 4

Juntando todos os termos na ordem crescente de k, obtemos a expansão completa: b^{-12} - 6b^{-9} + 15b^{-6} - 20b^{-3} + 15 - 6b^{3} + b^{6}.

Resposta

b^{-12} - 6b^{-9} + 15b^{-6} - 20b^{-3} + 15 - 6b^{3} + b^{6}

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