Encontre a solução do PVI:
cy^(3)-2 y^prime prime=0 y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=32

Passo 1

Vamos resolver o PVI , y^(3) - 2y'' = 0 com condições , y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=32. O conteúdo aqui é EDO linear de coeficientes constantes e vamos usar a equação característica.

Passo 2

Escrevendo a equação característica associada: , r^3 - 2r^2 = 0. Fatorando, temos , r^2(r - 2) = 0, logo as raízes são , r = 0 (multiplicidade 2) e , r = 2.

Passo 3

Pela teoria, cada raiz gera uma solução básica: raiz dupla zero dá ,1 e ,x, e raiz simples 2 dá ,e^{2x}. Então a solução geral é , y(x) = A + Bx + C e^2x.

Passo 4

Calculamos as derivadas e aplicamos as condições iniciais. Temos
  • , y'(x) = B + 2C e^2x
  • , y''(x) = 4C e^2x
    Em ,x=0 isso vira
  • , y(0)=A + C = 0
  • , y'(0)=B + 2C = 0
  • , y''(0)=4C = 32

Passo 5

Da última equação obtemos , C = 8. Substituindo em , B + 2C = 0 dá , B = -16. E em , A + C = 0 vem , A = -8.

Passo 6

Substituindo os constantes de volta na forma geral, a solução particular é , y(x) = -8 , - 16x + 8e^2x.

Resposta

y(x) = -8 - 16x + 8e^2x

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