Encontre a solução do PVI:
Passo 1
Vamos resolver o PVI ,
com condições ,
. O conteúdo aqui é EDO linear de coeficientes constantes e vamos usar a equação característica.
Passo 2
Escrevendo a equação característica associada: ,
. Fatorando, temos ,
, logo as raízes são ,
(multiplicidade 2) e ,
.
Passo 3
Pela teoria, cada raiz gera uma solução básica: raiz dupla zero dá ,1 e ,x, e raiz simples 2 dá ,e^{2x}. Então a solução geral é ,
.
Passo 4
Calculamos as derivadas e aplicamos as condições iniciais. Temos
- ,
- ,
Em ,x=0 isso vira - ,
- ,
- ,
Passo 5
Da última equação obtemos ,
. Substituindo em ,
dá ,
. E em ,
vem ,
.
Passo 6
Substituindo os constantes de volta na forma geral, a solução particular é ,
.