Questão 4.3

(a) Calcule a fração dos sítios atômicos que estão vagos para o cobre ( Cu ) na sua temperatura de fusão de 1084^{\circ} \mathrm{C}(1357 \mathrm{~K}). Suponha uma energia para a formação de lacunas de 0,90 \mathrm{eV} /átomo.
(b) Repita esse cálculo para a temperatura ambiente (298 K).
(c) Qual é a razão entre N_{l} / N(1357 \mathrm{~K}) e N_{l} / N(298 \mathrm{~K}) ?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Calcular a fração dos sítios atômicos que estão vagos para o cobre (Cu) na temperatura de fusão 1084^\circ\mathrm{C} = 1357\\ \mathrm{K}, supondo energia de formação de lacuna 0{,}90\\ \mathrm{eV/átomo}á.
  • (b) Repetir o cálculo para a temperatura ambiente 298\\ \mathrm{K}.
  • (c) Calcular a razão entre as duas frações \dfrac{N_l/N (1357\\ \mathrm{K})}{N_l/N (298\\ \mathrm{K})}.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • T_1 = 1357\\ \mathrm{K}.
  • T_2 = 298\\ \mathrm{K}.
  • Energia de formação de lacuna E_f = 0{,}90\\ \mathrm{eV/átomo}á.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (aula rápida): em equilíbrio térmico a fração de sítios vacantes (concentração de lacunas por sítio) é dada, em primeira aproximação, pelo fator de Boltzmann
\frac{N_l}{N}=\exp\!\biggl(-\frac{E_f}{k_B T}\biggr).
Explicando cada símbolo:
  • \dfrac{N_l}{N} = fração de sítios que estão vagos (número de lacunas dividido pelo número total de sítios).
  • E_f = energia de formação da lacuna por átomo (aqui 0{,}90\\ \mathrm{eV}).
  • k_B = constante de Boltzmann, que em unidades de \mathrm{eV/K} vale k_B=8{,}617333262\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
  • T = temperatura em kelvin.
Por que essa fórmula? Porque a probabilidade térmica de um sítio estar em um estado excitado de energia E_f é proporcional a \exp(-E_f/(k_BT)). Para defeitos como lacunas, essa probabilidade fornece a concentração de lacunas em equilíbrio (ignorando um fator pré-exponencial próximo de 1 para esta estimativa).

Passo 3

Cálculo para T_1=1357\\ \mathrm{K} (passo a passo):
  1. Calcular k_B T_1 em eV:
k_B T_1 = (8{,}617333262\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K})\times(1357\\ \mathrm{K}) = 0{,}116937212\\ \mathrm{eV}\\ (\text{aprox.}).
  1. Calcular o expoente -E_f/(k_B T_1):
-\frac{E_f}{k_B T_1} = -\frac{0{,}90}{0{,}116937212} \approx -7{,}697.
  1. Avaliar a exponencial:
\frac{N_l}{N}\biggr|_{1357\\ \mathrm{K}} = \exp(-7{,}697) \approx 4{,}55\times10^{-4}.
Interpretação rápida: cerca de 4{,}6 lacunas para cada 10^{4} sítios — já é uma fração pequena, mas não desprezível a altas temperaturas.

Passo 4

Cálculo para T_2=298\\ \mathrm{K} (passo a passo):
  1. Calcular k_B T_2:
k_B T_2 = (8{,}617333262\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K})\times(298\\ \mathrm{K}) = 0{,}025679653\\ \mathrm{eV}\\ (\text{aprox.}).
  1. Calcular o expoente -E_f/(k_B T_2):
-\frac{E_f}{k_B T_2} = -\frac{0{,}90}{0{,}025679653} \approx -35{,}061.
  1. Avaliar a exponencial:
\frac{N_l}{N}\biggr|_{298\\ \mathrm{K}} = \exp(-35{,}061) \approx 5{,}9\times10^{-16}.
Interpretação: à temperatura ambiente a fração de lacunas é astronomicamente menor (quase zero na prática).

Passo 5

Cálculo da razão pedida (método direto usando exponenciais):
\frac{\dfrac{N_l}{N}(1357\\ \mathrm{K})}{\dfrac{N_l}{N}(298\\ \mathrm{K})} = \exp\!\biggl(-\frac{E_f}{k_B T_1}\biggr)\Bigg/\exp\!\biggl(-\frac{E_f}{k_B T_2}\biggr) = \exp\!\biggl(\frac{E_f}{k_B}\Bigl(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Bigr)\biggr).
Usando os valores já calculados:
\text{expoente} \approx 35{,}061 - 7{,}697 = 27{,}364,
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\frac{N_l/N(1357\\ \mathrm{K})}{N_l/N(298\\ \mathrm{K})} \approx \exp(27{,}364) \approx 7{,}7\times10^{11}.
Ou seja, a fração de lacunas a 1357\\ \mathrm{K} é cerca de 7{,}7\times10^{11} vezes maior do que à temperatura ambiente.

Passo 6

Resumo físico e incentivo: a equação de Boltzmann mostra por que defeitos pontuais aumentam muito com a temperatura — a energia de formação relativamente modesta ( 0{,}9\\ \mathrm{eV}) torna as lacunas razoavelmente prováveis a temperaturas próximas da fusão, mas praticamente inexistentes a 298\\ \mathrm{K}. Vai dar tudo certo na prova — nesses exercícios o segredo é decorar a forma da exponencial e saber usar k_B nas unidades adequadas. Força!

Resposta

(a) 4{,}55\times10^{-4}
(b) 5{,}9\times10^{-16}
(c) 7{,}7\times10^{11}

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