(a) Calcule a fração dos sítios atômicos que estão vagos para o cobre ( Cu ) na sua temperatura de fusão de 1084^{\circ} \mathrm{C}(1357 \mathrm{~K}). Suponha uma energia para a formação de lacunas de 0,90 \mathrm{eV} /átomo.
(b) Repita esse cálculo para a temperatura ambiente (298 K).
(c) Qual é a razão entre N_{l} / N(1357 \mathrm{~K}) e N_{l} / N(298 \mathrm{~K}) ?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) Calcular a fração dos sítios atômicos que estão vagos para o cobre (Cu) na temperatura de fusão 1084^\circ\mathrm{C} = 1357\\ \mathrm{K}, supondo energia de formação de lacuna 0{,}90\\ \mathrm{eV/átomo}.
(b) Repetir o cálculo para a temperatura ambiente 298\\ \mathrm{K}.
(c) Calcular a razão entre as duas frações \dfrac{N_l/N (1357\\ \mathrm{K})}{N_l/N (298\\ \mathrm{K})}.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
T_1 = 1357\\ \mathrm{K}.
T_2 = 298\\ \mathrm{K}.
Energia de formação de lacuna E_f = 0{,}90\\ \mathrm{eV/átomo}.
Passo 2
Qual fórmula usar e por quê (aula rápida): em equilíbrio térmico a fração de sítios vacantes (concentração de lacunas por sítio) é dada, em primeira aproximação, pelo fator de Boltzmann
\dfrac{N_l}{N} = fração de sítios que estão vagos (número de lacunas dividido pelo número total de sítios).
E_f = energia de formação da lacuna por átomo (aqui 0{,}90\\ \mathrm{eV}).
k_B = constante de Boltzmann, que em unidades de \mathrm{eV/K} vale k_B=8{,}617333262\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
T = temperatura em kelvin.
Por que essa fórmula? Porque a probabilidade térmica de um sítio estar em um estado excitado de energia E_f é proporcional a \exp(-E_f/(k_BT)). Para defeitos como lacunas, essa probabilidade fornece a concentração de lacunas em equilíbrio (ignorando um fator pré-exponencial próximo de 1 para esta estimativa).
Passo 3
Cálculo para T_1=1357\\ \mathrm{K} (passo a passo):
Ou seja, a fração de lacunas a 1357\\ \mathrm{K} é cerca de 7{,}7\times10^{11} vezes maior do que à temperatura ambiente.
Passo 6
Resumo físico e incentivo: a equação de Boltzmann mostra por que defeitos pontuais aumentam muito com a temperatura — a energia de formação relativamente modesta (0{,}9\\ \mathrm{eV}) torna as lacunas razoavelmente prováveis a temperaturas próximas da fusão, mas praticamente inexistentes a 298\\ \mathrm{K}. Vai dar tudo certo na prova — nesses exercícios o segredo é decorar a forma da exponencial e saber usar k_B nas unidades adequadas. Força!