Desenvolva a seguinte equação:
Equação 4.9a C_{1}^{\prime \prime}=\frac{C_{1}}{C_{1} / \rho_{1}+C_{2} / \rho_{2}} \times 10^{3}

Passo 1

O enunciado dá a expressão
C_{1}^{\prime\prime}=\frac{C_{1}}{C_{1}/\rho_{1}+C_{2}/\rho_{2}}\times 10^{3}
e pede que a desenvolvamos (ou seja, que a simplifiquemos/expressemos de forma mais clara). As informações que temos são exatamente as variáveis \,C_{1},C_{2},\rho_{1},\rho_{2} e a constante multiplicativa 10^{3}. O objetivo é manipular a fração complexa para obter uma forma sem fração dentro de fração.

Passo 2

Conceito importante (rápido): quando uma fração tem somas de frações no denominador — uma “fração complexa” — a técnica padrão é multiplicar numerador e denominador por um múltiplo comum que elimine as frações internas. Aqui as frações internas usam \rho_{1} e \rho_{2} no denominador, então um bom multiplicador é \rho_{1}\rho_{2}. Isso não altera o valor (multiplicar cima e baixo por mesma quantidade mantém a igualdade) e limpa os denominadores internos.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador por \rho_{1}\rho_{2}. Escrevendo o passo:
C_{1}^{\prime\prime} = \frac{C_{1}}{\dfrac{C_{1}}{\rho_{1}}+\dfrac{C_{2}}{\rho_{2}}}\times 10^{3} = \frac{C_{1}\cdot (\rho_{1}\rho_{2})}{\big(\dfrac{C_{1}}{\rho_{1}}+\dfrac{C_{2}}{\rho_{2}}\big)\cdot (\rho_{1}\rho_{2})}\times 10^{3}.

Passo 4

Agora simplificamos o denominador term a term. Multiplicando cada parcela:
\big(\dfrac{C_{1}}{\rho_{1}}\big)\cdot(\rho_{1}\rho_{2}) = C_{1}\rho_{2}, \qquad \big(\dfrac{C_{2}}{\rho_{2}}\big)\cdot(\rho_{1}\rho_{2}) = C_{2}\rho_{1}.
Portanto o denominador vira C_{1}\rho_{2}+C_{2}\rho_{1}. Substituindo na expressão:
C_{1}^{\prime\prime} = \frac{C_{1}\,\rho_{1}\rho_{2}}{C_{1}\rho_{2}+C_{2}\rho_{1}}\times 10^{3}.

Passo 5

Podemos apresentar formas alternativas equivalentes, úteis dependendo do que se deseja:
  • Fatorando \rho_{2} no denominador:
C_{1}^{\prime\prime} = \frac{C_{1}\rho_{1}\rho_{2}}{\rho_{2}\,(C_{1}+C_{2}\tfrac{\rho_{1}}{\rho_{2}})}\times 10^{3} = \frac{C_{1}\rho_{1}}{C_{1}+C_{2}\tfrac{\rho_{1}}{\rho_{2}}}\times 10^{3}.
  • Dividindo numerador e denominador por C_{1} (se C_{1}\neq 0):
C_{1}^{\prime\prime} = \frac{\rho_{1}\rho_{2}}{\rho_{2} + \tfrac{C_{2}}{C_{1}}\rho_{1}}\times 10^{3}.
Todas são algebraicamente equivalentes à forma obtida em Passo 4.

Passo 6

Verificação numérica (exemplo concreto para conferir): escolha \,C_{1}=2,\;C_{2}=3,\;\rho_{1}=4,\;\rho_{2}=6.
Calculemos a expressão original e a simplificada para comparar.
Original:
\frac{C_{1}}{C_{1}/\rho_{1}+C_{2}/\rho_{2}}\times 10^{3} = \frac{2}{2/4 + 3/6}\times 10^{3} = \frac{2}{0{,}5 + 0{,}5}\times 10^{3} = \frac{2}{1{,}0}\times 10^{3} = 2\times 10^{3}=2000.
Simplificada (Passo 4):
\frac{C_{1}\rho_{1}\rho_{2}}{C_{1}\rho_{2}+C_{2}\rho_{1}}\times 10^{3} = \frac{2\cdot 4\cdot 6}{2\cdot 6 + 3\cdot 4}\times 10^{3} = \frac{48}{12+12}\times 10^{3} = \frac{48}{24}\times 10^{3}=2\times 10^{3}=2000.
Confere — as duas formas são iguais.

Resposta

C_{1}^{\prime\prime}=\frac{C_{1}\,\rho_{1}\rho_{2}}{C_{1}\rho_{2}+C_{2}\rho_{1}}\times 10^{3}

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