Um fio de cobre não deve ser tensionado acima de 70 MPa em tração. Qual o diâmetro necessário para um carregamento de 2000 kg ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Massa aplicada: m=2000\\ \text{kg}.
  • Tensão máxima admissível em tração para o fio: \sigma_{\text{max}}=70\\ \text{MPa}.
O que o problema pede:
  • Determinar o diâmetro d do fio (assumido com seção transversal circular) de modo que a tensão de tração não exceda \sigma_{\text{max}}.

Passo 2

Transformar a massa em força (peso). A força de tração causada pela massa é o peso
F=m g,
onde
  • F é a força (em newtons, \text{N}),
  • m é a massa (em quilogramas, \text{kg}),
  • g é a aceleração da gravidade (em \text{m/s}^2). Vou usar o valor usual \,g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.
Calculando:
F = 2000\cdot 9{,}81 = 19620\\ \text{N}.

Passo 3

Relacionar força, área e tensão. A tensão média (em tração) em uma seção é definida por
\sigma=\frac{F}{A},
onde
  • \sigma é a tensão (em pascal, \text{Pa}),
  • A é a área da seção transversal (em \text{m}^2).
Para um fio com seção circular de diâmetro d,
A=\frac{\pi d^2}{4}.
Aqui:
  • d é o diâmetro do fio (em metros),
  • \pi é a constante \approx 3{,}1416.

Passo 4

Impor que a tensão não ultrapasse o limite e isolar d. Queremos
\sigma=\frac{F}{A}\le \sigma_{\text{max}}.
Tomando a igualdade para encontrar o diâmetro mínimo,
\sigma_{\text{max}}=\frac{F}{\dfrac{\pi d^2}{4}}.
Isolando d:
d=\sqrt{\frac{4F}{\pi \sigma_{\text{max}}}}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos (lembrando de converter \text{MPa} para \text{Pa}: 1\\ \text{MPa}=10^{6}\\ \text{Pa}).
Dados usados:
F=19620\\ \text{N},\qquad \sigma_{\text{max}}=70\\ \text{MPa}=70\times10^{6}\\ \text{Pa}.
Calcular o radicando:
\frac{4F}{\pi \sigma_{\text{max}}} = \frac{4\cdot 19620}{\pi\cdot 70\times10^{6}} = \frac{78480}{\pi\cdot 70\times10^{6}}.
Valor numérico aproximado:
\frac{78480}{\pi\cdot 70\times10^{6}}\approx 0{,}0003567.
Agora a raiz:
d=\sqrt{0{,}0003567}\approx 0{,}0189\\ \text{m}=18{,}9\\ \text{mm}.
Interpretação: o diâmetro mínimo calculado é cerca de 18{,}9\\ \text{mm}. Na prática deve-se escolher um diâmetro padrão igual ou maior (arredondar para cima) e considerar fator de segurança se necessário.

Resposta

d\approx 18{,}9\\ \text{mm}

Exercícios relacionados