Desenvolva as seguintes funções em séries de Taylor (quando convergem):
e
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor (expansão em torno de
, isto é, série de Maclaurin) da função
no ponto
e para a região
. Informações dadas e objetivo:
- Função:
. - Centro da expansão:
. - Região onde a expansão deve convergir:
. - Quer-se escrever
como uma série em potências de que seja válida para .
Passo 2
Primeiro simplificar a expressão para uma forma mais conveniente. Observe que
portanto
Isto facilita porque conhecemos a expansão da função geométrica
.
Passo 3
Lembrar a série geométrica padrão: para
vale
Breve justificativa: a soma parcial
e, para
, temos
quando
, dando a soma infinita acima. Essa série converge uniformemente em qualquer bola fechada contida em
, o que permite operar termo a termo (diferenciar, por exemplo).
Passo 4
Como
, podemos diferenciar a série geométrica termo a termo (válido para
). Tomando derivada de ambos os lados:
O lado esquerdo dá
, que é exatamente
. O lado direito, ao derivar termo a termo, fica
pois o termo
é constante e tem derivada zero.
Passo 5
Temos portanto a representação direta
Para escrever como uma série na forma usual
, reindexamos: coloque
. Então, quando
vai de
a
,
vai de
a
, e
. Substituindo:
Passo 6
Concluímos a série de Taylor (Maclaurin) procurada: para
,
Como verificação rápida, multiplicando
por
successivamente ou comparando coeficientes obtém-se que o produto por
é
, confirmando a correção.