Desenvolva as seguintes funções em séries de Taylor (quando convergem):
f(z)=\frac{1}{(z-1)^{2}} \quad(z=0 e |z|<1)

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor (expansão em torno de 0, isto é, série de Maclaurin) da função
f(z)=\frac{1}{(z-1)^{2}}
no ponto z=0 e para a região |z|<1. Informações dadas e objetivo:
  • Função: f(z)=\dfrac{1}{(z-1)^{2}}.
  • Centro da expansão: z=0.
  • Região onde a expansão deve convergir: |z|<1.
  • Quer-se escrever f(z) como uma série em potências de z que seja válida para |z|<1.

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão para uma forma mais conveniente. Observe que
(z-1)^{2}=(-1)^{2}(1-z)^{2}=(1-z)^{2},
portanto
f(z)=\frac{1}{(z-1)^{2}}=\frac{1}{(1-z)^{2}}.
Isto facilita porque conhecemos a expansão da função geométrica \dfrac{1}{1-z}.

Passo 3

Lembrar a série geométrica padrão: para |z|<1 vale
\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty} z^{n}.
Breve justificativa: a soma parcial S_N=1+z+z^{2}+\dots+z^{N}=\dfrac{1-z^{N+1}}{1-z} e, para |z|<1, temos z^{N+1}\to0 quando N\to\infty, dando a soma infinita acima. Essa série converge uniformemente em qualquer bola fechada contida em |z|<1, o que permite operar termo a termo (diferenciar, por exemplo).

Passo 4

Como f(z)=\dfrac{d}{dz}\!\left(\dfrac{1}{1-z}\right), podemos diferenciar a série geométrica termo a termo (válido para |z|<1). Tomando derivada de ambos os lados:
\frac{d}{dz}\!\left(\frac{1}{1-z}\right)=\frac{d}{dz}\!\left(\sum_{n=0}^{\infty} z^{n}\right).
O lado esquerdo dá \dfrac{1}{(1-z)^{2}}, que é exatamente f(z). O lado direito, ao derivar termo a termo, fica
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{d}{dz}\bigl(z^{n}\bigr)=\sum_{n=1}^{\infty} n z^{\,n-1},
pois o termo n=0 é constante e tem derivada zero.

Passo 5

Temos portanto a representação direta
\frac{1}{(1-z)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty} n z^{\,n-1},\qquad |z|<1.
Para escrever como uma série na forma usual \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^{n}, reindexamos: coloque m=n-1. Então, quando n vai de 1 a \infty, m vai de 0 a \infty, e n=m+1. Substituindo:
\sum_{n=1}^{\infty} n z^{\,n-1}=\sum_{m=0}^{\infty} (m+1) z^{m}.

Passo 6

Concluímos a série de Taylor (Maclaurin) procurada: para |z|<1,
\frac{1}{(z-1)^{2}}=\frac{1}{(1-z)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,z^{n}.
Como verificação rápida, multiplicando \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)z^{n} por (1-z) successivamente ou comparando coeficientes obtém-se que o produto por (1-z)^{2} é 1, confirmando a correção.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{(z-1)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,z^{n}, para |z|<1.

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