Usando as definições das funções complexas, mostre que:
Prove:
(
inteiro) (sugestao: use logaritimo)
Prove:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar explicitamente todas as possíveis valores de
. As informações dadas são apenas o número complexo
e a operação de potência com expoente complexo. Portanto temos de:
- interpretar corretamente o que significa elevar um número complexo a uma potência complexa;
- usar a definição do logaritmo complexo (multivalorado) para obter todas as soluções.
O objetivo final é obter a fórmula fechada dos valores dee mostrar que ela é
Passo 2
Vou lembrar as definições que vamos usar (com calma e sem pular etapas).
Definição do número complexo em forma polar:
onde
é o módulo e
é o argumento (ângulo). O argumento é multivalorado:
sendo
um representante (por exemplo o principal
).
Definição do logaritmo complexo (multivalorado):
Aqui
é o logaritmo real do módulo.
Definição de potência complexa:
onde
é uma das possíveis determinações do logaritmo de
. Essa definição incorpora a multivaluação através do termo
em
.
Passo 3
Calcular propriedades de
que vamos precisar.
O módulo de
é
Um argumento de
(o mais natural) é
porque no plano complexo
está no eixo imaginário positivo. Como o argumento é multivalorado, a família completa de argumentos é
Passo 4
Calcular o logaritmo complexo de
usando a definição do Passo 2 e os dados do Passo 3.
Como
temos
. Logo
para todo
. Observe que
é puro imaginário e multivalorado.
Passo 5
Aplicar a definição de potência complexa com
e
:
Substituindo
do Passo 4:
Passo 6
Simplificar a expressão do expoente. Usando
:
Portanto cada escolha inteira
dá um valor real positivo para
.
Passo 7
Interpretação final e observações didáticas rápidas:
- A multivaluação aparece porque o logaritmo complexo tem infinitas determinações diferindo por
. - Todas as possíveis potências
são números reais positivos, o que é contraintuitivo à primeira vista, mas segue diretamente da identidade e do fato ser puro imaginário. - O valor principal (quando se escolhe a determinação principal do argumento
, isto é
) é