Usando as definições das funções complexas, mostre que:
Prove: i^{i}=e^{-(\pi / 2+2 n \pi)} ( n= inteiro) (sugestao: use logaritimo)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar explicitamente todas as possíveis valores de i^{i}. As informações dadas são apenas o número complexo i e a operação de potência com expoente complexo. Portanto temos de:
  • interpretar corretamente o que significa elevar um número complexo a uma potência complexa;
  • usar a definição do logaritmo complexo (multivalorado) para obter todas as soluções.
    O objetivo final é obter a fórmula fechada dos valores de i^{i} e mostrar que ela é
i^{i}=e^{-\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)},\qquad n\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Vou lembrar as definições que vamos usar (com calma e sem pular etapas).
Definição do número complexo em forma polar:
\text{Se }z\in\mathbb{C}\setminus\{0\},\text{ então }z=|z|e^{i\arg z},ã
onde |z| é o módulo e \arg z é o argumento (ângulo). O argumento é multivalorado:
\arg z = \theta + 2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z},
sendo \theta um representante (por exemplo o principal \theta=\Arg z).
Definição do logaritmo complexo (multivalorado):
\Log z = \ln|z| + i(\arg z)=\ln|z| + i(\theta + 2\pi k),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Aqui \ln é o logaritmo real do módulo.
Definição de potência complexa:
z^{w} := e^{w\Log z},
onde \Log z é uma das possíveis determinações do logaritmo de z. Essa definição incorpora a multivaluação através do termo 2\pi k em \Log z.

Passo 3

Calcular propriedades de i que vamos precisar.
O módulo de i é
|i|=1.
Um argumento de i (o mais natural) é
\theta=\frac{\pi}{2},
porque no plano complexo i está no eixo imaginário positivo. Como o argumento é multivalorado, a família completa de argumentos é
\arg i = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Calcular o logaritmo complexo de i usando a definição do Passo 2 e os dados do Passo 3.
Como |i|=1 temos \ln|i|=\ln 1=0. Logo
\Log i = \ln|i| + i(\arg i) = 0 + i\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = i\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right),
para todo n\in\mathbb{Z}. Observe que \Log i é puro imaginário e multivalorado.

Passo 5

Aplicar a definição de potência complexa com z=i e w=i:
i^{i} = e^{\,i\Log i}.
Substituindo \Log i do Passo 4:
i^{i} = e^{\,i\cdot i\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)}.

Passo 6

Simplificar a expressão do expoente. Usando i\cdot i = i^2 = -1:
i^{i} = e^{-1\cdot\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)} = e^{-\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)}.
Portanto cada escolha inteira n dá um valor real positivo para i^{i}.

Passo 7

Interpretação final e observações didáticas rápidas:
  • A multivaluação aparece porque o logaritmo complexo tem infinitas determinações diferindo por 2\pi n.
  • Todas as possíveis potências i^{i} são números reais positivos, o que é contraintuitivo à primeira vista, mas segue diretamente da identidade i^{i}=e^{i\Log i} e do fato \Log i ser puro imaginário.
  • O valor principal (quando se escolhe a determinação principal do argumento \Arg i=\pi/2, isto é n=0) é
i^{i}=e^{-\pi/2}\approx e^{-1{,}5708}\approx 0{,}207879576\ldots

Resposta

i^{i}=e^{-\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)},\qquad n\in\mathbb{Z}.

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