Encontre a singularidade e o resíduo das seguintes integrais:
\oint_{C} \frac{d z}{z^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a integral de contorno
\oint_{C}\frac{dz}{z^{2}}
e pede que eu encontre a singularidade da função integranda e o resíduo dessa singularidade. Vou trabalhar assumindo que C é um contorno fechado que envolve o ponto z=0 (orientação positiva). As informações relevantes são:
  • A função a integrar é f(z)=\dfrac{1}{z^{2}}.
  • O único ponto onde f deixa de ser analítica é z=0.

Passo 2

O que é uma singularidade e como classificá-la (explicação didática).
  • Singularidade isolada: ponto z_0 onde a função não é analítica, mas é analítica em algum anel 0<|z-z_0|<r.
  • Classificação por comportamento de Laurent em torno de z_0:
    • Removível: nenhuma potência negativa na expansão de Laurent.
    • Polo de ordem m: há termos até (z-z_0)^{-m} e o termo (z-z_0)^{-m} tem coeficiente não nulo.
    • Essencial: há infinitos termos com potências negativas.
      Para identificar a ordem do polo é útil tentar escrever f(z) como (z-z_0)^{-m}g(z) com g(z) analítica e g(z_0)\neq0.

Passo 3

Aplicando isso ao caso concreto f(z)=\dfrac{1}{z^{2}}.
  • Observação direta: f(z)=z^{-2}. Logo z=0 é uma singularidade onde a função tem um termo (z-0)^{-2}.
  • Podemos escrever f(z)=(z-0)^{-2}\cdot 1, com g(z)\equiv1 que é analítica e g(0)=1\neq0.
  • Conclusão: z=0 é um polo de ordem 2 (polo duplo, isto é, ordem m=2).

Passo 4

O que é resíduo e como calculá-lo (aula curta).
  • Definição prática: o resíduo de f em z_0 é o coeficiente do termo (z-z_0)^{-1} na expansão de Laurent de f em torno de z_0.
  • Para polos de ordem maior que 1 existe uma fórmula prática: se f tem polo de ordem m em z_0, então
\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\bigl((z-z_0)^{m}f(z)\bigr).
Esta fórmula elimina a necessidade de obter toda a série de Laurent quando m é pequeno.

Passo 5

Aplicando a definição direta (expansão de Laurent) ao nosso f(z)=z^{-2}.
  • A expansão de Laurent centrada em 0 é simplesmente
\frac{1}{z^{2}} = z^{-2}.
Não existe termo em z^{-1} nessa expansão, portanto o coeficiente de z^{-1} é 0. Logo o resíduo é 0.

Passo 6

Aplicando a fórmula para polo de ordem m=2 (confirmação).
  • Usando a fórmula,
\operatorname{Res}\bigl(f,0\bigr)=\frac{1}{(2-1)!}\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}\bigl(z^{2}\cdot \tfrac{1}{z^{2}}\bigr) =\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}(1)=0.
Mesmo resultado: resíduo 0.

Passo 7

Interpretação final e valor da integral (observação útil para a prova).
  • Pelo Teorema dos Resíduos, se C envolve z=0 uma vez positivamente,
\oint_{C}\frac{dz}{z^{2}} = 2\pi i\;\operatorname{Res}\bigl(\tfrac{1}{z^{2}},0\bigr)=2\pi i\cdot 0=0.
  • Se C não envolver 0, a função é analítica no interior e a integral também é 0. Em qualquer caso, a integral vale 0.

Resposta

Singularidade: polo de ordem 2 em z=0.
Resíduo: 0.

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