Encontre a singularidade e o resíduo das seguintes integrais:
\oint_{C} \frac{d z}{z^{2}}
\oint_{C} \frac{d z}{z^{2}}
Passo 1
O enunciado dá a integral de contorno
e pede que eu encontre a singularidade da função integranda e o resíduo dessa singularidade. Vou trabalhar assumindo que
é um contorno fechado que envolve o ponto
(orientação positiva). As informações relevantes são:
- A função a integrar é
. - O único ponto onde
deixa de ser analítica é .
Passo 2
O que é uma singularidade e como classificá-la (explicação didática).
- Singularidade isolada: ponto
onde a função não é analítica, mas é analítica em algum anel . - Classificação por comportamento de Laurent em torno de
: - Removível: nenhuma potência negativa na expansão de Laurent.
- Polo de ordem
: há termos até e o termo tem coeficiente não nulo. - Essencial: há infinitos termos com potências negativas.
Para identificar a ordem do polo é útil tentar escrevercomo com analítica e .
Passo 3
Aplicando isso ao caso concreto
.
- Observação direta:
. Logo é uma singularidade onde a função tem um termo . - Podemos escrever
, com que é analítica e . - Conclusão:
é um polo de ordem (polo duplo, isto é, ordem ).
Passo 4
O que é resíduo e como calculá-lo (aula curta).
- Definição prática: o resíduo de
em é o coeficiente do termo na expansão de Laurent de em torno de . - Para polos de ordem maior que
existe uma fórmula prática: se tem polo de ordem em , então
Esta fórmula elimina a necessidade de obter toda a série de Laurent quando
é pequeno.
Passo 5
Aplicando a definição direta (expansão de Laurent) ao nosso
.
- A expansão de Laurent centrada em
é simplesmente
Não existe termo em
nessa expansão, portanto o coeficiente de
é
. Logo o resíduo é
.
Passo 6
Aplicando a fórmula para polo de ordem
(confirmação).
- Usando a fórmula,
Mesmo resultado: resíduo
.
Passo 7
Interpretação final e valor da integral (observação útil para a prova).
- Pelo Teorema dos Resíduos, se
envolve uma vez positivamente,
- Se
não envolver , a função é analítica no interior e a integral também é . Em qualquer caso, a integral vale .
Resposta
Singularidade: polo de ordem
em
.
Resíduo: .
Resíduo: