Desenvolva as seguintes funções em séries de Taylor (quando convergem): f(z)=\frac{1}{1-z} \quad(z=0 e |z|<1)
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver em séries de Taylor a função f(z)=\dfrac{1}{1-z} em torno de z=0, considerando o caso indicado z=0 e a região de interesse |z|<1. Informações dadas:
A função é f(z)=\dfrac{1}{1-z}.
O centro do desenvolvimento é z=0.
A região de validade pedida é |z|<1.
O objetivo é obter a série de potências (Taylor) centrada em 0 que representa f quando essa série converge, e discutir sua convergência.
Passo 2
O que é um desenvolvimento em série de Taylor (explicação didática, sem pressa):
Uma série de Taylor de uma função f centrada em 0 (às vezes chamada série de Maclaurin) é uma série de potências da forma
\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n,
onde os coeficientes a_n são dados por
a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!},
ou seja, depende das derivadas de f avaliadas em 0.
Para construir a série, podemos calcular as derivadas de f e usar essa fórmula, ou reconhecer a função como uma série geométrica conhecida e escrever diretamente. Vou mostrar os dois caminhos (um para entender a ideia das derivadas e outro mais prático).
Passo 3
Cálculo das derivadas (para ver a regularidade e extrair os coeficientes):
Escrevendo f(z)=(1-z)^{-1}. Diferenciando:
f'(z)=(1-z)^{-2},
f''(z)=2(1-z)^{-3},
f^{(3)}(z)=2\cdot3(1-z)^{-4}=3!(1-z)^{-4},
e, por indução, observa-se o padrão
f^{(n)}(z)=n!\,(1-z)^{-n-1}\quad\text{para todo }n\ge0.
(Indução rápida: a fórmula vale para n. Derivando, f^{(n+1)}(z)=n!\cdot (-(n+1))(1-z)^{-n-2}\cdot(-1)= (n+1)!\,(1-z)^{-n-2}.)
Passo 4
Avaliar as derivadas em 0 e obter os coeficientes:
Avaliando em z=0 temos
f^{(n)}(0)=n!\,,
portanto, os coeficientes da série de Taylor são
a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{n!}{n!}=1.
Logo a série de Taylor (soma de potências) centrada em 0 é
\sum_{n=0}^{\infty} z^n.
Passo 5
Reconhecimento via série geométrica (jeito direto e muito usado na prova):
A identidade clássica para série geométrica diz que, para x com |x|<1,
\sum_{n=0}^{\infty} x^n=\frac{1}{1-x}.
Aqui basta tomar x=z. Uma maneira elementar de ver isso é considerar a soma parcial
e observar que se |z|<1 então z^{N+1}\to0 quando N\to\infty, de modo que S_N(z)\to\dfrac{1}{1-z}. Isso recupera a mesma série encontrada no passo anterior.
Passo 6
Convergência e raio de convergência (por que |z|<1 é a condição correta):
Usando o teste da razão para a série \sum_{n=0}^\infty z^n: os termos são a_n=z^n, então
O teste da razão diz que a série converge se esse limite for menor que 1, ou seja, se |z|<1. Portanto o raio de convergência é 1.
Intuitivamente também: a função f tem um polo simples em z=1, logo não é analítica além dessa distância, e isso coloca um limite natural no raio de convergência em 1.
Passo 7
Comportamento na fronteira e fora do disco:
Para |z|>1 a série diverge porque os termos z^n não tendem a zero (pelo contrário, crescem em módulo).
Para |z|=1 a série geralmente não converge (por exemplo, em z=-1 ela se torna 1-1+1-1+\cdots, que não converge no sentido usual; em pontos da forma z=e^{i\theta} os termos não tendem a zero). O único ponto singular óbvio é z=1, onde a função nem está definida. Assim a igualdade por série vale exatamente no disco |z|<1.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar (meio que um “teste prático”):
Se escolher z=\tfrac{1}{2} (que satisfaz |z|<1), então a série dá