em torno de z_{0}=0 (assuma o ramo principal de em um disco suficientemente pequeno). Determine o raio de convergência e, usando a série, calcule g^{(n)}(0) para n \geq 1.
Passo 1
O enunciado pede que se encontre a série de Taylor de g(z)=(1+z)^{\alpha} em torno de z_{0}=0 (vou assumir que o expoente é um parâmetro \alpha\in\mathbb{C} e que se usa o ramo principal da função potência — isto condiz com a frase “assuma o ramo principal” do enunciado). As perguntas são, claramente:
Escrever explicitamente a série de Taylor de g centrada em 0.
Determinar o raio de convergência dessa série.
Calcular g^{(n)}(0) para n\ge 1.
Informações dadas e hipóteses que vou usar:
A função é g(z)=(1+z)^{\alpha} com ramo principal, isto é, (1+z)^{\alpha}=\exp\big(\alpha\Operatorname{Log}(1+z)\big) onde \Operatorname{Log} é o logaritmo principal.
Trabalharei num disco pequeno em torno de 0 que não cruza o ramo de corte de \Operatorname{Log}; por exemplo, o disco \{z:|z|<1\} é adequado (em |z|<1 tem-se 1+z dentro do disco centrado em 1 de raio 1, evitando o eixo real negativo e o ponto 0).
Passo 2
Mostrar que g é diferenciável numa vizinhança de 0 e obter fórmula para as derivadas.
Definição útil: a derivada de uma potência com expoente geral obedece à regra (que pode ser provada por indução):
Como o fator \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1) é constante em z, aplica-se a regra do produto (aqui só um fator variável) e usa-se a derivada de (1+z)^{\alpha-n}:
Isto coincide com o fato clássico: a série binomial generalizada converge absolutamente para |z|<1. Em |z|=1 a convergência depende de \alpha (casos especiais), mas para a questão foi pedido somente o raio.
Passo 6
Resumo final e observações úteis (dicas para a prova):
A expressão para as derivadas já aparece naturalmente na indução: g^{(n)}(z)=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)(1+z)^{\alpha-n}. Assim g^{(n)}(0)=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1).
Quando \alpha é inteiro não-negativo, a série é truncada (polinômio) e as derivadas para n>\alpha são zero — isso explica o caso clássico do binômio de Newton finito.
Para aplicar o ramo principal de (1+z)^{\alpha} é suficiente trabalhar em um disco centrado em 0 que não atinja o ponto z=-1 nem o semieixo real negativo deslocado por 1; em particular |z|<1 é uma escolha segura.
Resposta
(1+z)^{\alpha}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}z^{n}, onde \displaystyle\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.\n
Raio de convergência: R=1.\n g^{(n)}(0)=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1) para n\ge 1.