Encontre a série de Taylor de
g(z)=(1+z)
em torno de z_{0}=0 (assuma o ramo principal de em um disco suficientemente pequeno). Determine o raio de convergência e, usando a série, calcule g^{(n)}(0) para n \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede que se encontre a série de Taylor de g(z)=(1+z)^{\alpha} em torno de z_{0}=0 (vou assumir que o expoente é um parâmetro \alpha\in\mathbb{C} e que se usa o ramo principal da função potência — isto condiz com a frase “assuma o ramo principal” do enunciado). As perguntas são, claramente:
  • Escrever explicitamente a série de Taylor de g centrada em 0.
  • Determinar o raio de convergência dessa série.
  • Calcular g^{(n)}(0) para n\ge 1.
Informações dadas e hipóteses que vou usar:
  • A função é g(z)=(1+z)^{\alpha} com ramo principal, isto é, (1+z)^{\alpha}=\exp\big(\alpha\Operatorname{Log}(1+z)\big) onde \Operatorname{Log} é o logaritmo principal.
  • Trabalharei num disco pequeno em torno de 0 que não cruza o ramo de corte de \Operatorname{Log}; por exemplo, o disco \{z:|z|<1\} é adequado (em |z|<1 tem-se 1+z dentro do disco centrado em 1 de raio 1, evitando o eixo real negativo e o ponto 0).

Passo 2

Mostrar que g é diferenciável numa vizinhança de 0 e obter fórmula para as derivadas.
Definição útil: a derivada de uma potência com expoente geral obedece à regra (que pode ser provada por indução):
\frac{d}{dz}(1+z)^{\alpha}=\alpha(1+z)^{\alpha-1}.
Aplicando essa regra repetidamente (indução), obtém-se para todo n\ge 0:
g^{(n)}(z)=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)\,(1+z)^{\alpha-n}.
Explicação da indução (passo a passo, para ficar bem claro):
  • Para n=0 a fórmula é g^{(0)}(z)=(1+z)^{\alpha}, verdade óbvia.
  • Suponha verdadeira para n. Diferenciando,
g^{(n+1)}(z)=\frac{d}{dz}\bigg[\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)\,(1+z)^{\alpha-n}\bigg].
Como o fator \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1) é constante em z, aplica-se a regra do produto (aqui só um fator variável) e usa-se a derivada de (1+z)^{\alpha-n}:
g^{(n+1)}(z)=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)\,(\alpha-n)\,(1+z)^{\alpha-(n+1)},
que é exatamente a fórmula para n+1. Assim a indução fecha.

Passo 3

Avaliar as derivadas em z=0 para obter os coeficientes da série de Taylor.
Pela fórmula do passo anterior, para todo n\ge 0:
g^{(n)}(0)=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)\,(1+0)^{\alpha-n}=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1).
(Nota: para n=0 essa expressão deve ser interpretada como produto vazio e dá g^{(0)}(0)=1, que é (1+0)^{\alpha}=1.)
Como o coeficiente do termo z^{n} na série de Taylor é \dfrac{g^{(n)}(0)}{n!}, obtemos
\frac{g^{(n)}(0)}{n!}=\binom{\alpha}{n}\quad\text{onde}\quad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.

Passo 4

Escrever a série de Taylor (série binomial generalizada). Reunindo o resultado do passo anterior:
(1+z)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}z^{n},
onde \binom{\alpha}{0}=1 e, para n\ge1,
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.
Para fixar a intuição, os primeiros termos são
(1+z)^{\alpha}=1+\alpha z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}z^{2}+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}z^{3}+\cdots.

Passo 5

Determinar o raio de convergência R. Use-se o teste da razão sobre os coeficientes a_n=\binom{\alpha}{n}. Calcula-se
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\binom{\alpha}{n+1}}{\binom{\alpha}{n}} =\frac{\alpha-n}{n+1}.
Tomando módulo e o limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|\alpha-n|}{n+1}=1.
Pelo teste da razão, o raio de convergência é
R=\frac{1}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=1.
Isto coincide com o fato clássico: a série binomial generalizada converge absolutamente para |z|<1. Em |z|=1 a convergência depende de \alpha (casos especiais), mas para a questão foi pedido somente o raio.

Passo 6

Resumo final e observações úteis (dicas para a prova):
  • A expressão para as derivadas já aparece naturalmente na indução: g^{(n)}(z)=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)(1+z)^{\alpha-n}. Assim g^{(n)}(0)=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1).
  • Quando \alpha é inteiro não-negativo, a série é truncada (polinômio) e as derivadas para n>\alpha são zero — isso explica o caso clássico do binômio de Newton finito.
  • Para aplicar o ramo principal de (1+z)^{\alpha} é suficiente trabalhar em um disco centrado em 0 que não atinja o ponto z=-1 nem o semieixo real negativo deslocado por 1; em particular |z|<1 é uma escolha segura.

Resposta

(1+z)^{\alpha}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}z^{n}, onde \displaystyle\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.\n
Raio de convergência: R=1.\n
g^{(n)}(0)=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1) para n\ge 1.

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