Encontre a série de Taylor de
f(z)=\frac{1}{1+z^{2}}
em torno de z_{0}=0. Determine o raio de convergência e descreva o conjunto de convergência no plano complexo.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Obter a série de Taylor de f(z)=\dfrac{1}{1+z^{2}} centrada em z_{0}=0.
  • Determinar o raio de convergência dessa série.
  • Descrever o conjunto de convergência no plano complexo.
Informações dadas:
  • A função é f(z)=\dfrac{1}{1+z^{2}}.
  • A expansão deve ser em torno de 0 (ou seja, série em potências de z).
  • Não há imagens nem dados adicionais.

Passo 2

Lembra da identidade clássica da série geométrica: para uma variável complexa w vale
\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^{\infty} w^{n}\qquad\text{quando}\qquad |w|<1.
Explicando devagar: essa fórmula diz que a soma infinita \sum_{n=0}^{\infty}w^{n} converge exatamente quando os termos têm módulo que vai a zero geometricamente, isto é quando |w|<1; nesse caso a soma vale \dfrac{1}{1-w}. É a ferramenta mais direta para obter séries de potências de funções racionais simples.

Passo 3

Para usar a identidade acima, escrevemos f na forma \dfrac{1}{1-w}. Note que
\frac{1}{1+z^{2}}=\frac{1}{1-(-z^{2})}.
Então basta aplicar a série geométrica com w=-z^{2}. Pelo resultado do passo anterior, para |w|<1 (ou seja, |-z^{2}|<1, que equivale a |z|^{2}<1 e portanto |z|<1) temos
\frac{1}{1+z^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-z^{2})^{n}.

Passo 4

Simplificando a potência, obtemos a série em potências de z:
\frac{1}{1+z^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{2n} =1 - z^{2} + z^{4} - z^{6} + \cdots.
Observação sobre coeficientes: todos os termos de potência ímpar têm coeficiente zero; os coeficientes das potências pares são a_{2n}=(-1)^{n} e a_{2n+1}=0.

Passo 5

Agora vamos determinar o raio de convergência R. Uma forma direta é usar a fórmula de Cauchy–Hadamard:
\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|},
onde a_{n} são os coeficientes da série \sum a_{n}z^{n}. Aqui a_{2n}=(-1)^{n} e a_{2n+1}=0. Para a subsequência par temos \sqrt[2n]{|a_{2n}|}=\sqrt[2n]{1}=1. Como existe uma subsequência cujo n-ésimo radical tende a 1, segue que \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=1. Assim
\frac{1}{R}=1\quad\Rightarrow\quad R=1.

Passo 6

Outra maneira (mais conceitual) de ver R=1 é olhar as singularidades da função f. A função racional \dfrac{1}{1+z^{2}} tem polos simples onde 1+z^{2}=0, ou seja em z=i e z=-i. A distância desses polos ao centro 0 é |i-0|=1 e |-i-0|=1. Teorema importante: para uma função analítica em torno de 0, o raio de convergência da sua série de Taylor centrada em 0 é a distância até a singularidade mais próxima; daí R=1.

Passo 7

Agora descrevemos o conjunto de convergência (aberto e bordo). A série encontrada é a série geométrica com razão r=-z^{2}. A condição de convergência da série geométrica é |r|<1, isto é |-z^{2}|<1, equivalente a |z|^{2}<1 e portanto a |z|<1. Logo a série converge para todos os z com |z|<1 (o disco aberto de raio 1 centrado em 0).
Sobre os pontos da fronteira |z|=1: se |z|=1 então os termos da série têm módulo
\bigl|(-1)^{n}z^{2n}\bigr|=|z|^{2n}=1,
logo os termos não tendem a zero e a série não pode convergir. Portanto não há convergência em nenhum ponto da fronteira |z|=1. Para |z|>1 a série também diverge (razão tem módulo maior que 1). Assim o conjunto de convergência é exatamente o disco aberto \{z\in\mathbb{C}:\,|z|<1\}.

Passo 8

Resumo final (já com a série e as conclusões prontas): série de Taylor centrada em 0, raio de convergência e conjunto de convergência.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{1+z^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{2n}=1-z^{2}+z^{4}-z^{6}+\cdots\n
R=1\n
Converge exatamente para \{z\in\mathbb{C}:\,|z|<1\} (diverge em toda a fronteira |z|=1 e para |z|>1).

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