Desenvolva em série Mac-Laurin as seguintes funções:
f(x)=\operatorname{tg}(x)

Passo 1

O enunciado pede a série de Mac­laurin de \tan(x), ou seja, desenvolver \tan(x) em potência de x ao redor de 0. Vamos usar a definição de série de Mac­laurin, as expansões conhecidas de \sin(x) e \cos(x) e a relação
\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}.

Passo 2

Escrevemos as séries de Mac­laurin truncadas para \sin(x) e \cos(x) até termos de ordem x^7:
\sin(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}-\frac{x^{7}}{5040}+\cdots,
\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}+\cdots.

Passo 3

Supondo
\tan(x)=a_{1}x+a_{3}x^{3}+a_{5}x^{5}+a_{7}x^{7}+\cdots,
temos a identidade
\cos(x)\,\tan(x)=\sin(x).
Multiplicamos as duas séries e comparamos coeficientes de cada potência de x.

Passo 4

Produto \cos(x)\,\tan(x) até x^7:
\bigl(1-\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{4}}{24}-\tfrac{x^{6}}{720}\bigr)\bigl(a_{1}x+a_{3}x^{3}+a_{5}x^{5}+a_{7}x^{7}\bigr).
Coeficiente de x^1:
a_{1}=1.
Coeficiente de x^3:
-a_{1}\tfrac12 +a_{3}=-\tfrac16 \;\Longrightarrow\;-{\tfrac12}+a_{3}=-{\tfrac16} \;\Longrightarrow\;a_{3}=\tfrac13.
Coeficiente de x^5:
a_{1}\tfrac1{24}-a_{3}\tfrac12 +a_{5}=\tfrac1{120} \;\Longrightarrow\;\tfrac1{24}-\tfrac1{6}+a_{5}=\tfrac1{120} \;\Longrightarrow\;a_{5}=\tfrac{2}{15}.

Passo 5

Coeficiente de x^7:
-\,a_{1}\tfrac1{720}+a_{3}\tfrac1{24}-a_{5}\tfrac12 +a_{7}=-\tfrac1{5040}
substituindo a_{1}=1, a_{3}=\tfrac13, a_{5}=\tfrac{2}{15} e resolvendo, obtém-se
a_{7}=\frac{17}{315}.

Resposta

\tan(x)=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2\,x^{5}}{15}+\frac{17\,x^{7}}{315}+\cdots.

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