Desenvolva em série Mac-Laurin as seguintes funções:
f(x)=\log (\cos (x))

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Mac-Laurin de \displaystyle f(x)=\log\bigl(\cos x\bigr).
O conteúdo envolvido é a expansão em série de funções elementares. Para resolver, vamos usar que \displaystyle f'(x) = -\tan x,
conhecer a série de Mac-Laurin de \tan x e então integrar termo a termo, ajustando a constante pela condição f(0)=0.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(\log(\cos x)\bigr) = -\,\frac{\sin x}{\cos x} = -\,\tan x.

Passo 3

A série de Mac-Laurin de \tan x em torno de x=0 é conhecida:
\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2\,x^5}{15} + \frac{17\,x^7}{315} + \frac{62\,x^9}{2835} + \cdots.

Passo 4

Substituímos em f'(x) = -\tan x e integramos termo a termo:
f'(x) = -\Bigl(x + \frac{x^3}{3} + \frac{2\,x^5}{15} + \frac{17\,x^7}{315} + \cdots\Bigr).
Integrando cada termo:
f(x) = C - \Bigl(\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{12} + \frac{2\,x^6}{90} + \frac{17\,x^8}{2520} + \cdots\Bigr).
Simplificando os coeficientes:
f(x) = C - \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{45} - \frac{17\,x^8}{2520} - \cdots.

Passo 5

Para determinar C, usamos f(0)=\log(\cos0)=\log1=0. Assim 0=C.

Resposta

\log\bigl(\cos x\bigr) = -\,\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{45} - \frac{17\,x^8}{2520} - \frac{31\,x^{10}}{14175} - \cdots.

Exercícios relacionados