Calcule o desenvolvimento em série de Taylor em torno do ponto \mathrm{x}=0, até a segunda ordem e com resto de Lagrange das funções:
f(x)=\log \left(1-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 2, em torno de x=0, para
f(x)=\log\bigl(1 - x^{2}\bigr)
e também o resto segundo a forma de Lagrange. Para isso vamos usar a definição de desenvolvimento de Taylor centrado em zero:
f(x)=f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2!}\,x^{2}+R_{2}(x),
onde
R_{2}(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,x^{3}
para algum \xi entre 0 e x.

Passo 2

Calcular as derivadas de f e avaliá-las em 0.
  1. f(x)=\ln(1-x^{2})
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln(1-x^{2}) =-\frac{2x}{1-x^{2}},
logo
f'(0)=0.
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(-\frac{2x}{1-x^{2}}\Bigr) =-2\,\frac{1+x^{2}}{(1-x^{2})^{2}},
logo
f''(0)=-2.

Passo 3

Montar o polinômio de Taylor até a segunda ordem:
P_{2}(x) =f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2!}\,x^{2} =0+0\cdot x+\frac{-2}{2}\,x^{2} =-x^{2}.

Passo 4

Determinar o resto de Lagrange. Calculamos a terceira derivada em termo geral:
f^{(3)}(x) =-4\,\frac{x\,(3+x^{2})}{(1-x^{2})^{3}}.
Então, para algum \xi entre 0 e x, vale
R_{2}(x) =\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,x^{3} =\frac{-4\,\xi\,(3+\xi^{2})}{6\,(1-\xi^{2})^{3}}\,x^{3} =-\frac{2\,\xi\,(3+\xi^{2})}{3\,(1-\xi^{2})^{3}}\,x^{3}.

Resposta

O desenvolvimento de Taylor de ordem 2 de f(x)=\ln(1-x^{2}) em torno de 0 é
\ln(1-x^{2})=-x^{2}+R_{2}(x),
com resto de Lagrange
R_{2}(x) =-\frac{2\,\xi\,(3+\xi^{2})}{3\,(1-\xi^{2})^{3}}\,x^{3},
para algum \xi entre 0 e x.

Exercícios relacionados