Estabeleça séries de Taylor para as funções seguintes na vizinha dos pontos indicadas.
\frac{1}{x-1} ; \quad x=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor (Maclaurin) de
f(x)=\frac{1}{x-1}
em torno de x=0.
O conteúdo é expansão em série de potências, e vamos usar que
\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n},\quad |x|<1.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\frac{1}{x-1} = -\,\frac{1}{1 - x}.

Passo 3

Aplicando a série geométrica para \tfrac{1}{1-x} e multiplicando por -1, obtemos
f(x) = -\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = -1 - x - x^{2} - x^{3} - \cdots,
válida para |x|<1.

Resposta

\frac{1}{x-1} = -\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} \quad\text{com raio de convergência }|x|<1.ê

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