Desenvolva a Série de Maclaurin para as funções abaixo; exponha um polinômio de 3^{\underline{o}} grau
f(x)=\sqrt[3]{x+1}

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Maclaurin de grau 3 para a função f(x)=\sqrt[3]{x+1}=(1+x)^{\frac13}. Vamos usar o Teorema do Binômio Generalizado, que permite expandir (1+x)^\alpha em série de potências centrada em 0.

Passo 2

Pelo Binômio Generalizado temos
(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k}\,x^k, \quad \binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}.
Aqui \alpha=\tfrac13. Calculamos os primeiros coeficientes:
\binom{\tfrac13}{0}=1,
\binom{\tfrac13}{1}=\frac{\tfrac13}{1!}=\frac13,
\binom{\tfrac13}{2} =\frac{\tfrac13\bigl(\tfrac13-1\bigr)}{2!} =\frac{\tfrac13\cdot(-\tfrac23)}{2} =-\frac{1}{9},
\binom{\tfrac13}{3} =\frac{\tfrac13\bigl(\tfrac13-1\bigr)\bigl(\tfrac13-2\bigr)}{3!} =\frac{\tfrac13\cdot(-\tfrac23)\cdot(-\tfrac53)}{6} =\frac{5}{81}.

Passo 3

Montamos o polinômio de grau 3 truncando a série até k=3:
p_3(x) =1 +\frac13\,x -\frac{1}{9}\,x^2 +\frac{5}{81}\,x^3.

Resposta

p_3(x)=1+\frac{x}{3}-\frac{x^2}{9}+\frac{5x^3}{81}.

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