Mostre os 5 primeiros termos de cada série e (b)Mostre a convergência ou divergência de cada Série.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n!}{10^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n!}{10^{n}}
(a) mostrar os cinco primeiros termos e (b) decidir se converge ou diverge. Vamos usar o Teste da Razão e também o fato de que, se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir.

Passo 2

Denotando
a_n = (-1)^{n-1}\frac{n!}{10^n},
os cinco primeiros termos são
\begin{aligned} a_1 &= (+1)\,\frac{1!}{10^1} = \frac{1}{10},\\\ a_2 &= (-1)\,\frac{2!}{10^2} = -\frac{2}{100} = -\frac{1}{50},\\\ a_3 &= (+1)\,\frac{6}{10^3} = \frac{6}{1000},\\\ a_4 &= (-1)\,\frac{24}{10^4} = -\frac{24}{10000},\\\ a_5 &= (+1)\,\frac{120}{10^5} = \frac{120}{100000}. \end{aligned}

Passo 3

Aplicamos o Teste da Razão ao módulo dos termos b_n=\frac{n!}{10^n}. Calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!/10^{n+1}}{n!/10^n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{10} = \infty.
Como L>1, a série diverge. Além disso, observa-se que \lim_{n\to\infty}a_n\neq0, reforçando a divergência.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{10},\;-\frac{1}{50},\;\frac{6}{1000},\;-\frac{24}{10000},\;\frac{120}{100000}.
(b) A série diverge (Teste da Razão dá L=\infty>1).

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