Desenvolva em série de potências as seguintes funções no ponto ,
Determine em cada caso o raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para expandir em série de potências a função f(z)= em torno do ponto z_0=-i, e em seguida determinar o raio de convergência. Vamos usar conhecimentos de série geométrica e lembramos que o raio de convergência de uma série centrada em z_0 é a distância até a singularidade mais próxima.
Passo 2
Definimos a variável de deslocamento , de modo que . Então
[\frac1{z+2i}=\frac1{(w - i)+2i}=\frac1{w + i}\n],
Passo 3
Reescrevemos como série geométrica. Note que
[\frac1{w+i}=\frac1{i},\frac1{1+\frac w i}=\frac1{i}\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\Bigl(\frac w i\Bigr)^n], válida para . Substituindo w=z+i obtemos
[f(z)=\sum_{n=0}\infty(-1)n,i{-(n+1)},(z+i)n],
Passo 4
Para o raio de convergência, observamos que a série converge enquanto |w|<|i|=1, ou seja
[|z+i|<1.
] Portanto o raio de convergência é 1.
Resposta
f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}\infty(-1)n,i{-(n+1)},(z+i)n , Raio de convergência = 1