Desenvolva em série de potências as seguintes funções
f(z)=1z+2 i no ponto z=-i,
Determine em cada caso o raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede para expandir em série de potências a função f(z)= 1z+2i em torno do ponto z_0=-i, e em seguida determinar o raio de convergência. Vamos usar conhecimentos de série geométrica e lembramos que o raio de convergência de uma série centrada em z_0 é a distância até a singularidade mais próxima.

Passo 2

Definimos a variável de deslocamento w=z+ i, de modo que z=w - i. Então
[\frac1{z+2i}=\frac1{(w - i)+2i}=\frac1{w + i}\n],

Passo 3

Reescrevemos 1w+i como série geométrica. Note que
[\frac1{w+i}=\frac1{i},\frac1{1+\frac w i}=\frac1{i}\sum_{n=0}{\infty}(-1)n\Bigl(\frac w i\Bigr)^n], válida para l|tfrac w ir|<1. Substituindo w=z+i obtemos
[f(z)=\sum_{n=0}\infty(-1)n,i{-(n+1)},(z+i)n],

Passo 4

Para o raio de convergência, observamos que a série converge enquanto |w|<|i|=1, ou seja
[|z+i|<1.
] Portanto o raio de convergência é 1.

Resposta

f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}\infty(-1)n,i{-(n+1)},(z+i)n , Raio de convergência = 1

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