Calcule (usando a parametrização e a primitiva)
integral1^-1 ln zz d z ao longo da semi-circunferência em Im z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral ao longo da semi-circunferência onde a parte imaginária de é maior ou igual a zero. Aqui, vamos usar parametrização e encontrar uma primitiva para resolver. Vamos precisar saber um pouco sobre integrais complexas, parametrização de curvas e funções primitivas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a semi-circunferência no plano complexo. A semi-circunferência que vai de a pela parte de cima do círculo unitário pode ser representada por , onde vai de a . Isso significa que descreve todos os pontos na semi-circunferência superior.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Isso é importante porque vamos substituir na integral original.

Passo 4

Substituindo integral1^-1 ln zz , dz = integral0^pi ln(e^itheta)e^itheta cdot i e^itheta dtheta e = i integral0^pi ln(e^itheta) , dtheta na integral, temos:
Simplificando, os termos se cancelam:

Passo 5

Sabemos que = i integral0^pi itheta , dtheta = i^2 integral0^pi theta , dtheta = - integral0^pi theta , dtheta para entre e . Então, substituindo isso na integral:

Passo 6

Calculando a integral:
- integral0^pi theta , dtheta = - [ theta^22 ]0^pi = - ( pi^22 - 0 ) = -pi^22

Resposta

O valor da integral é .

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