Calcule (usando a parametrização e a primitiva)
ao longo da semi-circunferência em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral
ao longo da semi-circunferência onde a parte imaginária de
é maior ou igual a zero. Aqui, vamos usar parametrização e encontrar uma primitiva para resolver. Vamos precisar saber um pouco sobre integrais complexas, parametrização de curvas e funções primitivas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a semi-circunferência no plano complexo. A semi-circunferência que vai de
a
pela parte de cima do círculo unitário pode ser representada por
, onde
vai de
a
. Isso significa que
descreve todos os pontos na semi-circunferência superior.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Isso é importante porque vamos substituir
na integral original.
Passo 4
Substituindo
e
na integral, temos:
Simplificando, os termos
se cancelam:
Passo 5
Sabemos que
para
entre
e
. Então, substituindo isso na integral:
Passo 6
Calculando a integral:
Resposta
O valor da integral é
.