Utilizando o desenvovimento em série, obtenha um valor aproximado de:
e
com erro inferior a
Passo 1
O problema pede: aproximar os valores de
e
usando desenvolvimento em série, de modo que o erro de cada aproximação fique menor que
.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
significa o logaritmo natural de
.
significa o logaritmo natural de
.
Queremos usar séries (desenvolvimentos em série) e garantir erro inferior a .
Queremos usar séries (desenvolvimentos em série) e garantir erro inferior a
Passo 2
Vamos construir uma série útil para
(com
) que converge bem para
não muito distante de
. Definimos
Observe que para
temos
. Agora escrevemos
Explico cada parte:
é a série de Mercator para
com
, e
é a série com
. Essas séries valem para
.
Passo 3
Recordando a série de Mercator:
Aplicando com
e
e subtraindo, obtém-se (as parcelas pares se cancelam):
Portanto temos a fórmula central que vamos usar:
Aqui
é um número entre
e
; a série é de termos positivos quando
.
Passo 4
Antes de calcular, precisamos de um controle de erro para truncar a série. Se somarmos os termos até
(ou seja, até o expoente
), o resto é
Como para
temos
, cada termo satisfaz
Assim
Esse é um limite simples e prático para garantir
. Vou usar essa desigualdade para escolher quantos termos são necessários.
Passo 5
Aplicação para
. Aqui
, então
O resto tem a cota
Agora encontramos
tal que o lado direito seja menor que
.
Passo 6
Testando valores de
(contagem:
é o primeiro termo):
- Para
(ou seja, somar até , termo ): o fator já é muito pequeno, mas vamos calcular de forma prática. - Vou mostrar o procedimento prático: é mais intuitivo calcular termos explícitos da série e usar o coto de termo seguinte como estimativa do erro porque os termos são positivos e decrescentes. No nosso caso é suficiente usar alguns termos e verificar o coto acima.
Calculemos os primeiros termos da série para
:
Passo 7
Computação detalhada dos termos para
:
-
. Então
- Próximo termo:
- Somando os dois primeiros termos obtemos
. - Próximo:
- Soma parcial
. - Próximo:
- Soma parcial
. - Próximo:
- Soma parcial (incluindo até
) .
Passo 8
Estimativa do erro para
usando a cota do passo 4 com
(tendo incluído termos até
):
Aqui
. Então
Portanto a soma parcial obtida incluindo até o termo
já garante erro menor que
. A aproximação que já calculamos é
com erro menor que
.
Passo 9
Aplicação para
. Aqui
, então
A fórmula dá
Note uma simplificação prática: para
,
Assim os termos são
Passo 10
Calculação dos termos e somas para
:
-
. -
. Soma parcial . -
. Soma parcial . -
. Soma parcial . -
. Soma parcial . -
. Soma parcial . -
. Soma parcial .
Passo 11
Estimativa do erro para
. Usamos a cota do passo 4 com
:
Testando
(ou seja, incluindo termos até
, expoente
):
Logo
Portanto, incluindo até
(ou seja, até o termo com
) garantimos erro menor que
.
Passo 12
Refinamento numérico final (somando termos já computados com precisão suficiente):
- Para
(soma até , isto é termos ):
- Para
(soma até , termo com expoente ):
Se quisermos mais casas certas podemos somar mais termos, mas essas aproximações já satisfazem a condição de erro inferior a
.