Desenvolva a série de potências em torno da origem
6. f_{6}(x)=x \cos \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências (Maclaurin) de
f_{6}(x)=x\cos\bigl(x^{2}\bigr)
em torno de x=0. Vamos usar o desenvolvimento conhecido de \cos u e depois ajustar para u=x^{2}, multiplicando por x.

Passo 2

A série de Maclaurin de \cos u é
\cos u=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{u^{2n}}{(2n)!}.

Passo 3

Substituindo u=x^{2} obtemos
\cos\bigl(x^{2}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(x^{2})^{2n}}{(2n)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n}}{(2n)!}.

Passo 4

Multiplicando por x resulta na série para f_{6}(x):
f_{6}(x)=x\cos\bigl(x^{2}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+1}}{(2n)!}.

Resposta

\boxed{f_{6}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+1}}{(2n)!} = x - \frac{x^{5}}{2!} + \frac{x^{9}}{4!} - \frac{x^{13}}{6!} + \cdots.}

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