Desenvolva a série de potências em torno da origem
7. f_{7}(x)=\frac{\sin (x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a série de potências em torno da origem de f_{7}(x)=\frac{\sin(x)}{x}. O conteúdo que vamos usar é a série de Taylor (Maclaurin) de \sin(x) e, em seguida, dividir termo a termo por x.

Passo 2

A série de Maclaurin de \sin(x) é dada por
\sin(x) \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Para obter \frac{\sin(x)}{x}, basta dividir cada termo da série acima por x:
\frac{\sin(x)}{x} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!\,x} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}.

Passo 4

O raio de convergência dessa série é infinito (mesmo que o de \sin(x)), logo ela vale para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

\frac{\sin(x)}{x} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{2n}}{(2n+1)!} =1 \;-\;\frac{x^{2}}{3!}\;+\;\frac{x^{4}}{5!}\;-\;\frac{x^{6}}{7!}\;+\cdots.

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