Desenvolva a série de potências em torno da origem
4. f_{4}(x)=\frac{x^{2}}{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências em torno de zero da função
f_{4}(x)=\frac{x^{2}}{1-x^{2}}.
O conteúdo é a série geométrica
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^{n},\quad |u|<1,
que vamos aplicar com u=x^{2}.

Passo 2

Escrevemos
f_{4}(x)=x^{2}\cdot\frac{1}{1-x^{2}}.
Para |x^{2}|<1, a parte \frac{1}{1-x^{2}} expande-se como
\frac{1}{1-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(x^{2})^{n}.

Passo 3

Multiplicando por x^{2}, obtemos
f_{4}(x)=x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}(x^{2})^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n+2}.
Reindexando com k=n+1, fica
f_{4}(x)=\sum_{k=1}^{\infty}x^{2k}=x^{2}+x^{4}+x^{6}+\cdots.

Passo 4

O raio de convergência vem de |x^{2}|<1, isto é, |x|<1.

Resposta

f_{4}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^{2n}=x^{2}+x^{4}+x^{6}+\cdots,\quad |x|<1.

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