Desenvolva a série de potências em torno da origem
5. f_{5}(x)=\frac{x^{2}}{1+3 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências em torno da origem da função
f_{5}(x)=\frac{x^{2}}{1+3x^{2}}\,.
O conteúdo principal aqui é usar a série geométrica para
\frac{1}{1+u}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}u^{k},\quad |u|<1,
com u=3x^{2}, e depois multiplicar por x^{2}.

Passo 2

Substituindo u=3x^{2} na série geométrica, obtemos
\frac{1}{1+3x^{2}} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(3x^{2})^{k} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}3^{k}x^{2k},
válida para |3x^{2}|<1, isto é, |x|<\tfrac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Multiplicando a série acima por x^{2}, concluímos
f_{5}(x)=x^{2}\,\frac{1}{1+3x^{2}} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}3^{k}x^{2k+2}.

Resposta

f_{5}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}3^{k}x^{2k+2},\quad |x|<\frac{1}{\sqrt{3}}.

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