Encontre o raio e intervalo de convergência.
\sum \frac{n(x-1)^{n}}{2^{n}(3 n-1)}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em x_{0}=1:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,(x-1)^{n}}{2^{n}(3n-1)}.
Vamos usar o Teste da razão para potência de modo a encontrar o raio R e depois verificar os extremos.

Passo 2

Escrevemos a série no formato
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\,(x-1)^{n},
onde
a_{n}=\frac{n}{2^{n}(3n-1)}.

Passo 3

Aplicamos o Teste da razão aos coeficientes a_{n}. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n+1}{2^{\,n+1}(3(n+1)-1)}}{\frac{n}{2^{n}(3n-1)}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\,\frac{3n-1}{3n+2}\,\frac1{2} =\frac12.

Passo 4

Pela condição do Teste da razão em séries de potências, a série converge se
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|\;|x-1|<1 \quad\Longrightarrow\quad \frac12\,|x-1|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x-1|<2.
Logo o raio de convergência é
R=2,
e o intervalo central aberto é
(1-2,\;1+2)=(-1,\,3).

Passo 5

Verificamos os extremos:
  1. Em x=3, temos x-1=2 e o termo geral é
    \frac{n\,(2)^{n}}{2^{n}(3n-1)}=\frac{n}{3n-1}\sim\frac13\quad(n\to\infty),
    cujo limite não é zero, logo a série diverge.
  2. Em x=-1, temos x-1=-2 e o termo geral é
    \frac{n\,(-2)^{n}}{2^{n}(3n-1)} =(-1)^{n}\,\frac{n}{3n-1}\sim(-1)^{n}\frac13,
    cujo módulo tende a \tfrac13\neq0, também divergindo.
Portanto nenhum dos extremos pertence ao conjunto de convergência.

Resposta

Raio de convergência: R=2.
Intervalo de convergência: \,(-1,\,3).

Exercícios relacionados