Encontre o raio e intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em
:
Vamos usar o Teste da razão para potência de modo a encontrar o raio
e depois verificar os extremos.
Passo 2
Escrevemos a série no formato
onde
Passo 3
Aplicamos o Teste da razão aos coeficientes
. Calculamos
Passo 4
Pela condição do Teste da razão em séries de potências, a série converge se
Logo o raio de convergência é
e o intervalo central aberto é
Passo 5
Verificamos os extremos:
-
Em
, temos e o termo geral écujo limite não é zero, logo a série diverge. -
Em
, temos e o termo geral écujo módulo tende a , também divergindo.
Portanto nenhum dos extremos pertence ao conjunto de convergência.
Resposta
Raio de convergência:
.
Intervalo de convergência: .
Intervalo de convergência: