Encontre o raio e intervalo de convergência.
{ }^{a} \sum \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\,x^n.
O conteúdo envolvido é séries de potências: vamos usar o teste da razão para obter o raio R e, depois, analisar os extremos x=\pm1.

Passo 2

Denotando
a_n = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!},
calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2(n+1)-1)!!}{(2(n+1))!!}\,\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} = \frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}\,\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} = \frac{2n+1}{2n+2}.
Pelo teste da razão aplicado ao termo geral a_n x^n, temos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+2}\,|x| =|x|.

Passo 3

A série converge se L<1, ou seja se
|x|<1.
Logo o raio de convergência é
R=1.

Passo 4

Agora examinamos os extremos:
  1. Para x=1 a série fica
\sum_{n=0}^\infty a_n =\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} =\sum_{n=0}^\infty\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}.
Como \binom{2n}{n}\sim \tfrac{4^n}{\sqrt{\pi n}}, temos a_n\sim1/\sqrt{\pi n} e a série diverge por comparação com \sum1/\sqrt{n}.
  1. Para x=-1 a série torna-se
\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n,
é alternada, com a_n>0, a_n\searrow0. Pelo critério de Leibniz ela converge (condicionalmente).

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
[-1,\,1).

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