Desenvolva em série de potências em torno do zero (determinando a relação de recorrência) e exiba o gráfico no intervalo de [-5,5] para somas parciais incluindo potências até x^20. (3-x^2) y^prime prime-3 x y^prime-4 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial usando uma série de potências em torno de zero. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais e séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar desenvolver a solução em série de potências, encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes e, por fim, exibir o gráfico das somas parciais até o termo .

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como uma série de potências em torno de zero:
Os coeficientes são os que vamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 :
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2

Passo 4

Vamos substituir (3 - x^2) y'' - 3x y' - 4 y = 0 , (3 - x^2) sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 - 3x sumn=1^infty n an x^n-1 - 4 sumn=0^infty an x^n = 0 e na equação diferencial dada:
Substituindo as séries, temos:

Passo 5

Distribuindo os termos:
3 sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 - sumn=2^infty n(n-1) an x^n - 3 sumn=1^infty n an x^n - 4 sumn=0^infty an x^n = 0

Passo 6

Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham o mesmo expoente de 3 sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n - sumn=2^infty n(n-1) an x^n - 3 sumn=1^infty n an x^n - 4 sumn=0^infty an x^n = 0 . Para isso, fazemos uma mudança de índice:

Passo 7

Agora, podemos combinar todas as somas em uma única série:
sumn=0^infty [3(n+2)(n+1) an+2 - n(n-1) an - 3n an - 4 an] x^n = 0
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo 3(n+2)(n+1) an+2 - [n(n-1) + 3n + 4] an = 0 , o coeficiente de cada deve ser zero:

Passo 8

Simplificando a expressão:
3(n+2)(n+1) an+2 - (n^2 + 2n + 4) an = 0
Isolando an+2 = n^2 + 2n + 43(n+2)(n+1) an :
Essa é a nossa relação de recorrência!

Passo 9

Vamos utilizar as condições iniciais para encontrar os primeiros coeficientes. Sabemos que y(0) = a0 = 0 e y'(0) = a1 = 3 .
Para :
Para :

Passo 10

Agora, usando a relação de recorrência, podemos encontrar os coeficientes seguintes. Por exemplo:
a2 = 0^2 + 2(0) + 43(2)(1) a0 = 46 times 0 = 0
a3 = 1^2 + 2(1) + 43(3)(2) a1 = 718 times 3 = 76
E assim por diante, até obter os coeficientes até .

Passo 11

Com os coeficientes calculados, podemos escrever a série de potências até y(x) approx a0 + a1 x + a2 x^2 + dots + a20 x^20 . A soma parcial será:

Passo 12

Finalmente, para exibir o gráfico no intervalo de , utilizamos as somas parciais que calculamos. Cada soma parcial até dará uma aproximação da solução da equação diferencial nesse intervalo.

Resposta

Desenvolvemos a solução em série de potências com a relação de recorrência e obtivemos as somas parciais até . O gráfico dessas somas no intervalo representa a aproximação da solução da equação diferencial dada.

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