Desenvolva em série de potências em torno do zero (determinando a relação de recorrência) e exiba o gráfico no intervalo de [-5,5] para somas parciais incluindo potências até
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial usando uma série de potências em torno de zero. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais e séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar desenvolver a solução em série de potências, encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes e, por fim, exibir o gráfico das somas parciais até o termo
.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de zero:
Os coeficientes
são os que vamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial dada:
Substituindo as séries, temos:
Passo 5
Distribuindo os termos:
Passo 6
Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham o mesmo expoente de
. Para isso, fazemos uma mudança de índice:
Passo 7
Agora, podemos combinar todas as somas em uma única série:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, o coeficiente de cada
deve ser zero:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Isolando
:
Essa é a nossa relação de recorrência!
Passo 9
Vamos utilizar as condições iniciais para encontrar os primeiros coeficientes. Sabemos que
e
.
Para
:
Para
:
Passo 10
Agora, usando a relação de recorrência, podemos encontrar os coeficientes seguintes. Por exemplo:
E assim por diante, até obter os coeficientes até
.
Passo 11
Com os coeficientes calculados, podemos escrever a série de potências até
. A soma parcial será:
Passo 12
Finalmente, para exibir o gráfico no intervalo de
, utilizamos as somas parciais que calculamos. Cada soma parcial até
dará uma aproximação da solução da equação diferencial nesse intervalo.
Resposta
Desenvolvemos a solução em série de potências com a relação de recorrência
e obtivemos as somas parciais até
. O gráfico dessas somas no intervalo
representa a aproximação da solução da equação diferencial dada.