Seja
dada por
e
,
. Desenhe a imagem de
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício nos pede para desenhar a imagem da função
definida por
e
, onde
são números reais. Isso envolve conceitos de transformação de coordenadas e geometria no plano. Para resolver, vamos precisar entender como transformar pontos do sistema
para o sistema
e identificar a forma geométrica resultante.
Passo 2
Primeiro, observamos que a função
é bem direta: cada valor de
no plano original corresponde exatamente ao mesmo valor de
no plano imagem. Isso significa que a coordenada
permanece a mesma após a transformação.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Aqui,
é a soma do quadrado de
e do quadrado de
. Isso se assemelha à equação de um círculo no plano
, já que
representa a distância ao quadrado do ponto
à origem.
Passo 4
Para entender melhor a imagem, vamos expressar
em termos de
. Já que
, podemos substituir
por
na equação de
:
Isso mostra que, para cada valor fixo de
,
é sempre maior ou igual a
, já que
é sempre positivo ou zero.
Passo 5
Agora, vamos visualizar a imagem dessa transformação. Para cada
, a menor valor de
será
, e conforme
varia,
aumenta sem limite. Isso descreve uma parábola para cada direção de
, resultando em uma superfície parabólica no plano
.
Resposta
A imagem da função
é o conjunto de todos os pontos
no plano onde
. Geometricamente, isso corresponde a toda a região acima da parábola
.