Seja (x, y)=varphi(u, v) dada por x=u e y=u^2+v^2, com(u, v) in R^2. Desenhe a imagem de varphi.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos pede para desenhar a imagem da função definida por e , onde são números reais. Isso envolve conceitos de transformação de coordenadas e geometria no plano. Para resolver, vamos precisar entender como transformar pontos do sistema para o sistema e identificar a forma geométrica resultante.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função é bem direta: cada valor de no plano original corresponde exatamente ao mesmo valor de no plano imagem. Isso significa que a coordenada permanece a mesma após a transformação.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Aqui, é a soma do quadrado de e do quadrado de . Isso se assemelha à equação de um círculo no plano , já que representa a distância ao quadrado do ponto à origem.

Passo 4

Para entender melhor a imagem, vamos expressar y = x^2 + v^2 em termos de . Já que , podemos substituir por na equação de :
Isso mostra que, para cada valor fixo de , é sempre maior ou igual a , já que é sempre positivo ou zero.

Passo 5

Agora, vamos visualizar a imagem dessa transformação. Para cada , a menor valor de será , e conforme varia, aumenta sem limite. Isso descreve uma parábola para cada direção de , resultando em uma superfície parabólica no plano .

Resposta

A imagem da função é o conjunto de todos os pontos no plano onde . Geometricamente, isso corresponde a toda a região acima da parábola .

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